Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{n!}
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série quanto à convergência: se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. A série dada é
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{n!}.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
O termo geral da série é \displaystyle a_n=\frac{n^{n}}{n!}.
Cada a_n é um número real não negativo (ou seja, a_n\ge 0 para todo n).
A pergunta é única: classificar a série (absoluta, condicional ou divergente).
Passo 2
Observação importante (didática): o que significa cada caso?
“Absolutamente convergente” significa que \displaystyle \sum_{n=1}^\infty |a_n| converge.
“Condicionalmente convergente” significa que \displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n converge, mas \displaystyle \sum_{n=1}^\infty |a_n| diverge.
Se todos os termos a_n são não negativos, então |a_n|=a_n e, portanto, “absoluta” e “simples” são a mesma coisa: ou a série converge (então é absolutamente convergente) ou diverge. Logo, para a nossa série, basta decidir se ela converge ou diverge.
Passo 3
Escolhendo um método: um teste simples e eficaz para séries com termos que envolvem fatoriais e potências é o teste da razão (teste de d’Alembert). Vou explicar o teste:
Seja uma série com termos a_n (complexos ou reais). Defina
e e>1, pelo teste da razão a série diverge. Intuição extra (opcional): se a razão entre termos sucessivos tende a um número maior que 1, os termos crescem aproximadamente exponencialmente, logo não tendem a zero; e uma série cujos termos não tendem a zero não pode convergir.
Passo 7
Comentário final e reforço amigo: portanto a série não converge. Como todos os termos são não negativos, não faz sentido falar em convergência condicional distinta da absoluta — a série simplesmente diverge, e consequentemente não é absolutamente nem condicionalmente convergente. Dá para respirar: esse é um caso bem claro e rápido pelo teste da razão!