Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série quanto à convergência: se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. A série dada é
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{n!}.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • O termo geral da série é \displaystyle a_n=\frac{n^{n}}{n!}.
  • Cada a_n é um número real não negativo (ou seja, a_n\ge 0 para todo n).
  • A pergunta é única: classificar a série (absoluta, condicional ou divergente).

Passo 2

Observação importante (didática): o que significa cada caso?
  • “Absolutamente convergente” significa que \displaystyle \sum_{n=1}^\infty |a_n| converge.
  • “Condicionalmente convergente” significa que \displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n converge, mas \displaystyle \sum_{n=1}^\infty |a_n| diverge.
  • Se todos os termos a_n são não negativos, então |a_n|=a_n e, portanto, “absoluta” e “simples” são a mesma coisa: ou a série converge (então é absolutamente convergente) ou diverge. Logo, para a nossa série, basta decidir se ela converge ou diverge.

Passo 3

Escolhendo um método: um teste simples e eficaz para séries com termos que envolvem fatoriais e potências é o teste da razão (teste de d’Alembert). Vou explicar o teste:
  • Seja uma série com termos a_n (complexos ou reais). Defina
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
  • Se L<1, a série converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge (porque os termos não vão a zero).
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
    Este teste é muito útil quando a razão entre termos sucessivos simplifica bem, como costuma ocorrer com fatoriais.

Passo 4

Aplicando o teste da razão ao nosso termo a_n=\dfrac{n^{n}}{n!}. Calculamos a razão entre termos sucessivos:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{(n+1)^{\,n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{n^{n}}{n!}} = \frac{(n+1)^{\,n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{n^{n}}.
Agora simplificamos os fatoriais: (n+1)!=(n+1)\,n!. Assim,
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{\,n+1}}{(n+1)\,n!}\cdot\frac{n!}{n^{n}} = \frac{(n+1)^{\,n+1}}{(n+1)\,n^{n}} = \frac{(n+1)^{\,n}}{n^{n}} = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}.

Passo 5

Precisamos do limite
L=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}.
Conhecemos (e vou justificar rapidamente) que
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e,
onde e é o número de Euler (aproximadamente 2,71828\ldots). Justificativa curta e didática: tome o logaritmo natural
\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=n\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right).
Usando a expansão em série de Taylor para \ln(1+x) em x=0, temos \ln(1+x)=x-\tfrac{x^{2}}{2}+o(x^{2}). Substituindo x=\tfrac{1}{n} obtém-se
n\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)=n\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^{2}}+o\!\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\right)=1-\frac{1}{2n}+o\!\left(\frac{1}{n}\right),
que tende a 1 quando n\to\infty. Portanto o logaritmo tende a 1, e exponenciando obtemos o limite e^{1}=e. Logo L=e.

Passo 6

Aplicando o teste da razão: como o limite da razão é
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=e,
e e>1, pelo teste da razão a série diverge. Intuição extra (opcional): se a razão entre termos sucessivos tende a um número maior que 1, os termos crescem aproximadamente exponencialmente, logo não tendem a zero; e uma série cujos termos não tendem a zero não pode convergir.

Passo 7

Comentário final e reforço amigo: portanto a série não converge. Como todos os termos são não negativos, não faz sentido falar em convergência condicional distinta da absoluta — a série simplesmente diverge, e consequentemente não é absolutamente nem condicionalmente convergente. Dá para respirar: esse é um caso bem claro e rápido pelo teste da razão!

Resposta

Divergente.

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