Determine se a série alternada é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{n^{2}}{n^{2}+2}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n^{2}}{n^{2}+2}
é convergente ou divergente. Informações dadas:
\text{termo geral }u_n = (-1)^{n+1}\frac{n^{2}}{n^{2}+2}.
A pergunta é única: decidir convergência (absoluta, condicional) ou divergência da série.

Passo 2

Lembrete crucial (teste necessário para convergência): se uma série \sum u_n converge então o termo geral u_n tende a zero:
\text{Se }\sum u_n\text{ converge, então }\lim_{n\to\infty}u_n=0.ã
Esse é um teste rápido e obrigatório: se \lim_{n\to\infty}u_n\neq0 (ou não existe), a série diverge. Não precisa de cálculo de somas, é só olhar o termo geral.

Passo 3

Vamos analisar o limite do módulo do termo (ou do termo inteiro). Primeiro calculemos
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+2}.
Dividindo numerador e denominador por n^{2} obtemos
\frac{n^{2}}{n^{2}+2}=\frac{1}{1+\tfrac{2}{n^{2}}}.
Como \lim_{n\to\infty}\tfrac{2}{n^{2}}=0, segue
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+2}=1.

Passo 4

Agora considere o termo com o sinal alternado:
u_n = (-1)^{n+1}\frac{n^{2}}{n^{2}+2}.
Pelo que acabamos de ver, a magnitude tende a 1. Logo as subsequências de u_n para n ímpar e para n par têm limites diferentes:
\lim_{\substack{n\to\infty\\\ n\\ \text{ímpar}}} u_n = +1,\qquad \lim_{\substack{n\to\infty\\\ n\\ \text{par}}} u_n = -1.í
Portanto \lim_{n\to\infty}u_n não existe e, em particular, não é 0.

Passo 5

Aplicando o teste necessário citado no Passo 2: como \lim_{n\to\infty}u_n não é 0 (nem existe), a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n^{2}}{n^{2}+2}
diverge. Comentário adicional rápido: a série não é absolutamente convergente porque \sum \big|u_n\big|=\sum \frac{n^{2}}{n^{2}+2} tem termo geral que tende a 1, logo também diverge pelo mesmo teste.

Resposta

A série diverge.

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