Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n-1 1(n+1)^3 / 4

Passo 1

O enunciado trata da série alternada sumn=1^infty(-1)^n-11(n+1)^3/4. O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries alternadas e de séries absolutas, e vamos precisar usar o teste da série alternada de Leibniz e o teste da p-série.

Passo 2

Para analisar a convergência absoluta, consideramos a série de termos positivos sumn=1^inftyl|(-1)^n-1tfrac1(n+1)^3/4r|=sumn=1^infty1(n+1)^3/4. Esta é uma p-série com expoente p=tfrac34<1, e sabe-se que p-séries com p<=1 divergem. Logo, a série não é absolutamente convergente.

Passo 3

Para verificar a convergência condicional, aplicamos o teste da série alternada de Leibniz. Definimos an=tfrac1(n+1)^3/4. Primeiro, observamos que an>0 para todo n e que limntoinftyan=0. Além disso, a função f(x)=tfrac1(x+1)^3/4 é decrescente para x>=1 (pois sua derivada é negativa). Portanto, os termos an formam uma sequência decrescente a zero. Pelo teste de Leibniz, a série alternada converge.

Passo 4

Como a série não converge absolutamente, mas converge pelo teste alternado, concluímos que ela é condicionalmente convergente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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