Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado trata da série alternada . O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries alternadas e de séries absolutas, e vamos precisar usar o teste da série alternada de Leibniz e o teste da p-série.
Passo 2
Para analisar a convergência absoluta, consideramos a série de termos positivos . Esta é uma p-série com expoente p=tfrac34<1, e sabe-se que p-séries com p<=1 divergem. Logo, a série não é absolutamente convergente.
Passo 3
Para verificar a convergência condicional, aplicamos o teste da série alternada de Leibniz. Definimos an=tfrac1(n+1)^3/4. Primeiro, observamos que an>0 para todo n e que limntoinftyan=0. Além disso, a função f(x)=tfrac1(x+1)^3/4 é decrescente para x>=1 (pois sua derivada é negativa). Portanto, os termos an formam uma sequência decrescente a zero. Pelo teste de Leibniz, a série alternada converge.
Passo 4
Como a série não converge absolutamente, mas converge pelo teste alternado, concluímos que ela é condicionalmente convergente.