Determine se a série é convergente ou divergente:
13+2!3^2+3!3^3+ldots

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série sumn=1^infty n!3^n é convergente ou divergente. O conteúdo principal aqui é o teste da razão para séries infinitas. Vamos precisar do termo geral an=n!3^n e da definição do teste da razão.

Passo 2

Definimos an=n!3^n. Pelo teste da razão, calculamos rho=limntoinftyan+1an. Se rho<1, a série converge; se rho>1, diverge; se rho=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Calculando a razão:
an+1an = tfrac(n+1)!3^n+1tfracn!3^n = (n+1)!n!cdot3^n3^n+1 = n+13

Passo 4

Fazendo ntoinfty temos
limntoinftyn+13=infty,
ou seja, rho=infty>1. Pelo teste da razão, a série diverge.

Resposta

A série é divergente.

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