Verifique se a série alternada é convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n 3^n2^n.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
sumn=1^infty(-1)^n3^n2^n
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é análise de séries infinitas, e vamos usar o critério do termo geral (que exige limntoinftyan=0) e o teste da razão, pois a série é uma série geométrica com razão constante.

Passo 2

Identificamos o termo geral
an = (-1)^n3^n2^n = l(-32r)^n
Logo, trata-se de uma série geométrica com razão
r = -32

Passo 3

Primeiro, o teste do termo geral exige que
limntoinftyan = 0
para que a série possa convergir. Mas
l|anr| = l|tfrac32r|^n = l(tfrac32r)^nto +infty,
então limntoinftyan não existe como zero e a série já diverge por violar essa condição necessária.
Além disso, pelo teste da razão temos
|an+1an| = |(-tfrac32)^n+1(-tfrac32)^n| = l|tfrac32r| = tfrac32>1,
o que confirma a divergência da série geométrica.

Resposta

A série é divergente.

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