Determine se a série dada converge ou diverge.
sumn=1^infty 1n 2 n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty 1n,2^n
Aqui estamos lidando com uma série de termos positivos, e um método eficaz é o teste da razão (ou teste de d’Alembert), que nos diz que se
L = limntoinfty an+1an < 1,
então a série sum an converge absolutamente.

Passo 2

Definimos
an = 1n,2^n,
e aplicamos o teste da razão, isto é, calculamos
an+1an =tfrac1(n+1),2^,n+1tfrac1n,2^n =n,2^n(n+1),2^,n+1 =nn+1,12

Passo 3

Agora tomamos o limite quando ntoinfty:
L = limntoinftyan+1an =limntoinftynn+1,12 =12
Como tfrac12<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^infty1n,2^n converge (na verdade, converge absolutamente pelo teste da razão).

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