Questão 4. (4.0) Justifique em detalhe a continuidade das funções nos
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para justificar em detalhe a continuidade da função
. O conteúdo que vamos usar aqui é o de continuidade de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar saber que funções básicas como polinômios, exponenciais e funções trigonométricas são contínuas, e que combinações contínuas dessas funções também são contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da função
separadamente. Temos duas partes:
e
.
Passo 3
A primeira parte,
, é o produto de duas funções:
e
. Sabemos que polinômios como
são contínuos em todo lugar, e a função exponencial
também é contínua para todo
. Como o produto de funções contínuas é contínuo,
é contínua em todo
.
Passo 4
Agora, olhemos para a segunda parte,
. A função seno é contínua para todo seu argumento. O que está dentro do seno é
, que é um produto de polinômios em
e
. Como produtos de polinômios são contínuos,
é contínuo, e assim
também é contínua em todo
.
Passo 5
Por último, juntamos as duas partes:
e
. A soma de funções contínuas também é contínua. Portanto,
é contínua em todo o plano
.
Resposta
A função
é contínua em todo
porque é a soma de funções contínuas.