Questão 4. (4.0) Justifique em detalhe a continuidade das funções nos
f(x, y)=y e^x^2+sen(x^2 y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para justificar em detalhe a continuidade da função f(x, y) = y e^x^2 + sin(x^2 y) . O conteúdo que vamos usar aqui é o de continuidade de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar saber que funções básicas como polinômios, exponenciais e funções trigonométricas são contínuas, e que combinações contínuas dessas funções também são contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da função f(x, y) separadamente. Temos duas partes: y e^x^2 e sin(x^2 y) .

Passo 3

A primeira parte, y e^x^2 , é o produto de duas funções: y e e^x^2 . Sabemos que polinômios como y são contínuos em todo lugar, e a função exponencial e^x^2 também é contínua para todo x . Como o produto de funções contínuas é contínuo, y e^x^2 é contínua em todo R^2 .

Passo 4

Agora, olhemos para a segunda parte, sin(x^2 y) . A função seno é contínua para todo seu argumento. O que está dentro do seno é x^2 y , que é um produto de polinômios em x e y . Como produtos de polinômios são contínuos, x^2 y é contínuo, e assim sin(x^2 y) também é contínua em todo R^2 .

Passo 5

Por último, juntamos as duas partes: y e^x^2 e sin(x^2 y) . A soma de funções contínuas também é contínua. Portanto, f(x, y) = y e^x^2 + sin(x^2 y) é contínua em todo o plano R^2 .

Resposta

A função f(x, y) = y e^x^2 + sin(x^2 y) é contínua em todo R^2 porque é a soma de funções contínuas.

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