Determine se a série dada é convergente ou divergente.
10.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{|\operatorname{sen} n|}{n^{2}}
10.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{|\operatorname{sen} n|}{n^{2}}
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para determinar se ela é convergente ou divergente. Informação importante fornecida: o termo geral é
. Não há outras hipóteses escondidas.
Passo 2
Primeiro lembrete útil (condição necessária): para uma série
convergir é necessário que
quando
. Aqui os termos são não negativos, então podemos verificar isso facilmente. Usamos a desigualdade básica
para todo
. Dividindo por
(positivo) obtemos
Como
, pelo confronto de extremidades segue que
. Portanto a condição necessária é satisfeita.
Passo 3
Agora a ferramenta principal que vamos usar: o critério de comparação para séries de termos não negativos. Ele diz: se
para todo
e a série
converge, então a série
também converge. É uma ferramenta muito útil em provas rápidas.
Passo 4
Aplicando o critério de comparação ao nosso caso, tome
Já mostramos que
para todo
. Resta saber se
converge.
Passo 5
Recorde do p-critério: a série
(série p) converge exatamente quando
e diverge quando
. No nosso caso
, portanto
converge (é a famosa série de Basel).
Passo 6
Como
converge e
, pelo critério de comparação concluímos que
converge. Observação final útil para prova: por termos somado valores absolutos, essa é também uma convergência absoluta no caso em que a série sem valor absoluto fosse considerada.
Resposta
Convergente