Determine se a série dada é convergente ou divergente.
10.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{|\operatorname{sen} n|}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{|\sin n|}{n^{2}}
e pede para determinar se ela é convergente ou divergente. Informação importante fornecida: o termo geral é \dfrac{|\sin n|}{n^{2}}. Não há outras hipóteses escondidas.

Passo 2

Primeiro lembrete útil (condição necessária): para uma série \sum a_n convergir é necessário que a_n \to 0 quando n\to\infty. Aqui os termos são não negativos, então podemos verificar isso facilmente. Usamos a desigualdade básica
0 \le |\sin n| \le 1
para todo n. Dividindo por n^{2} (positivo) obtemos
0 \le \frac{|\sin n|}{n^{2}} \le \frac{1}{n^{2}}.
Como \dfrac{1}{n^{2}}\to 0, pelo confronto de extremidades segue que \dfrac{|\sin n|}{n^{2}}\to 0. Portanto a condição necessária é satisfeita.

Passo 3

Agora a ferramenta principal que vamos usar: o critério de comparação para séries de termos não negativos. Ele diz: se 0\le a_n \le b_n para todo n e a série \sum b_n converge, então a série \sum a_n também converge. É uma ferramenta muito útil em provas rápidas.

Passo 4

Aplicando o critério de comparação ao nosso caso, tome
a_n=\frac{|\sin n|}{n^{2}},\qquad b_n=\frac{1}{n^{2}}.
Já mostramos que 0\le a_n\le b_n para todo n. Resta saber se \sum b_n=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}} converge.

Passo 5

Recorde do p-critério: a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}} (série p) converge exatamente quando p>1 e diverge quando p\le 1. No nosso caso p=2>1, portanto
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
converge (é a famosa série de Basel).

Passo 6

Como \sum b_n converge e 0\le a_n\le b_n, pelo critério de comparação concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|\sin n|}{n^{2}}
converge. Observação final útil para prova: por termos somado valores absolutos, essa é também uma convergência absoluta no caso em que a série sem valor absoluto fosse considerada.

Resposta

Convergente

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