Determine se a série dada é convergente ou divergente.
12.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n^{3}+1}}
Passo 1
O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n^{3}+1}}
e pergunta se essa série é convergente ou divergente. As informações relevantes são:
O termo geral é a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n^{3}+1}}.
A série é do tipo série numérica com termos positivos.
O objetivo é decidir convergência (somatório finito) ou divergência (somatório infinito).
Passo 2
Vamos recordar duas ferramentas simples e muito usadas para séries com termos positivos.
Critério da série p (p-series): a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Exemplos rápidos: \sum 1/n diverge (porque p=1), \sum 1/n^{2} converge (porque p=2).
Teste da comparação direta (para termos não-negativos): se 0\le a_n\le b_n para todo n suficientemente grande e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge. Intuição: se cada a_n é menor que um termo de uma série convergente, a soma dos a_n não pode “ultrapassar” aquela soma finita.
Outra opção é o teste da comparação por limite (limit comparison): se a_n>0, b_n>0 e
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L
com 0<L<\infty, então \sum a_n e \sum b_n convergem ou divergem juntas.
Vou usar a comparação com uma p-série porque é direta aqui.
Passo 3
Observação sobre a_n. Para todo n\ge 1 vale
n^{3}+1 \ge n^{3},
portanto, passando à raiz quadrada,
\sqrt{n^{3}+1} \ge \sqrt{n^{3}} = n^{3/2}.
Invertendo essa desigualdade (tudo positivo) obtemos
\frac{1}{\sqrt{n^{3}+1}} \le \frac{1}{n^{3/2}}.
Ou seja, para todo n\ge1,
a_n \le \frac{1}{n^{3/2}}.
Passo 4
Aplicando o teste da comparação direta: a série de referência é a p-série com p=\tfrac{3}{2}:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3/2}}.
Como \tfrac{3}{2}>1, essa p-série converge. Pelo que vimos em
Passo 5
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^{3}+1}}
também converge.
Passo 6
(Alternativa rápida usando comparação por limite) Escrevendo
o limite é 1\in(0,\infty), então pelas regras do limit comparison a série tem o mesmo comportamento da p-série com p=3/2, que converge. Isso confirma o resultado acima.