Determine se a série dada é convergente ou divergente.
13.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{5 n^{2}+3}
13.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{5 n^{2}+3}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- O termo geral da série é
para . - Quer-se decidir convergência (soma finita) ou divergência (soma infinita).
Passo 2
Vamos lembrar um teste útil e muito usado em provas: o Teste da Comparação Limite (Limit Comparison Test). Vou explicar com calma.
Enunciado do teste (versão para séries de termos não negativos): se
e
para todo
suficientemente grande e existir o limite
com
(ou seja, limite positivo e finito), então as séries
e
são ou ambas convergentes ou ambas divergentes.
O que significam as variáveis:
-
é o termo da série que queremos estudar. -
é um termo de referência, escolhido por ser uma série cujo comportamento (convergência/divergência) já se conhece. -
é o limite do quociente; se for um número finito e positivo, as duas séries têm o mesmo comportamento.
Observação prática: para séries cujo termo geral tem comportamento assintótico como
, costuma-se comparar com a série harmônica
(quando
) ou com uma série p (quando
).
Passo 3
Verificar sinais e escolher a série de comparação. Note que para todo
tem-se
. Uma escolha natural é a série harmônica
pois ao observar
percebe-se que, para grandes
, o termo se comporta como constante dividido por
.
Passo 4
Aplicar o Teste da Comparação Limite com
e
. Calcular o limite
Para calcular esse limite, divido numerador e denominador por
:
Agora, fazendo
temos
, logo
Esse limite é um número positivo e finito:
.
Passo 5
Pelo Teste da Comparação Limite, como
é finito e positivo, a série
tem o mesmo comportamento da série de referência
. Mas a série harmônica
é conhecida por ser divergente. Portanto
também diverge.
Dica de prova rápida para a prova: observar que
quando
grande (isso já sugere divergência, pois é proporcional a
) e formalizar com o limite mostrado.
Resposta
A série diverge.