Determine se a série dada é convergente ou divergente.
13.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{5 n^{2}+3}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{5 n^{2}+3}
é convergente ou divergente.
Informações fornecidas:
  • O termo geral da série é \displaystyle a_n=\frac{n}{5n^{2}+3} para n=1,2,3,\dots.
  • Quer-se decidir convergência (soma finita) ou divergência (soma infinita).

Passo 2

Vamos lembrar um teste útil e muito usado em provas: o Teste da Comparação Limite (Limit Comparison Test). Vou explicar com calma.
Enunciado do teste (versão para séries de termos não negativos): se a_n\ge 0 e b_n>0 para todo n suficientemente grande e existir o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n},
com 0<L<+\infty (ou seja, limite positivo e finito), então as séries \sum a_n e \sum b_n são ou ambas convergentes ou ambas divergentes.
O que significam as variáveis:
  • a_n é o termo da série que queremos estudar.
  • b_n é um termo de referência, escolhido por ser uma série cujo comportamento (convergência/divergência) já se conhece.
  • L é o limite do quociente; se for um número finito e positivo, as duas séries têm o mesmo comportamento.
Observação prática: para séries cujo termo geral tem comportamento assintótico como c/n^p, costuma-se comparar com a série harmônica \sum 1/n (quando p=1) ou com uma série p (quando p\ne1).

Passo 3

Verificar sinais e escolher a série de comparação. Note que para todo n\ge1 tem-se a_n=\dfrac{n}{5n^{2}+3}>0. Uma escolha natural é a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n},
pois ao observar \dfrac{n}{5n^{2}+3} percebe-se que, para grandes n, o termo se comporta como constante dividido por n.

Passo 4

Aplicar o Teste da Comparação Limite com a_n=\dfrac{n}{5n^{2}+3} e b_n=\dfrac{1}{n}. Calcular o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{n}{5n^{2}+3}}{\dfrac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{5n^{2}+3}.
Para calcular esse limite, divido numerador e denominador por n^{2}:
\frac{n^{2}}{5n^{2}+3} =\frac{1}{5+\dfrac{3}{n^{2}}}.
Agora, fazendo n\to\infty temos \dfrac{3}{n^{2}}\to 0, logo
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{5n^{2}+3}=\frac{1}{5}.
Esse limite é um número positivo e finito: L=\dfrac{1}{5}\in(0,+\infty).

Passo 5

Pelo Teste da Comparação Limite, como L=\dfrac{1}{5} é finito e positivo, a série \sum a_n tem o mesmo comportamento da série de referência \sum b_n=\sum \dfrac{1}{n}. Mas a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é conhecida por ser divergente. Portanto \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{5n^{2}+3} também diverge.
Dica de prova rápida para a prova: observar que a_n\sim \dfrac{1}{5n} quando n grande (isso já sugere divergência, pois é proporcional a 1/n) e formalizar com o limite mostrado.

Resposta

A série diverge.

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