Determine se a série dada é convergente ou divergente.
14.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(n-1)!}{(n+1)!}
14.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(n-1)!}{(n+1)!}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. A informação dada é a expressão do termo geral para todo
,
:
Passo 2
Primeiro vamos simplificar o termo
usando propriedades de fatorial. Lembre que, para
,
Portanto podemos cancelar
no numerador e no denominador:
Ou seja, a série fica
Passo 3
Uma técnica muito útil para somas com fatores do tipo
é a decomposição em frações parciais, que permite ver se a série é telescópica. Queremos escrever
e determinar
e
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Isso é uma identidade em
, então basta igualar coeficientes ou testar valores. Fazendo
dá
. Fazendo
dá
. Assim
e
. Portanto
Passo 4
Agora escrevemos a soma parcial
usando a decomposição:
Vamos expandir os primeiros termos para ver o cancelamento (telescópico):
Ao somar, quase todos os termos internos cancelam, sobrando apenas
Passo 5
Para decidir convergência, analisamos o limite das somas parciais
quando
. Temos
Como o limite das somas parciais existe e é finito, a série converge (mais: converge absolutamente, pois todos os termos são positivos).
Passo 6
Resumo didático rápido: transformamos o termo com fatoriais em uma forma simples usando cancelamento, aplicamos frações parciais para obter uma soma telescópica, calculamos a soma parcial fechada
e então tomamos o limite quando
. Esse é um padrão útil em provas: sempre vale a pena tentar simplificar fatoriais e testar se a sequência de termos se desmembra em diferença de duas parcelas que se cancelam.
Resposta
A série converge e