Determine se a série dada é convergente ou divergente.
14.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(n-1)!}{(n+1)!}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(n-1)!}{(n+1)!}
é convergente ou divergente. A informação dada é a expressão do termo geral para todo n\in\mathbb{N}, n\ge 1:
a_n=\frac{(n-1)!}{(n+1)!}.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar o termo a_n usando propriedades de fatorial. Lembre que, para n\ge1,
(n+1)!=(n+1)\,n\,(n-1)!.
Portanto podemos cancelar (n-1)! no numerador e no denominador:
\frac{(n-1)!}{(n+1)!}=\frac{(n-1)!}{(n+1)\,n\,(n-1)!}=\frac{1}{n(n+1)}.
Ou seja, a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}.

Passo 3

Uma técnica muito útil para somas com fatores do tipo n(n+1) é a decomposição em frações parciais, que permite ver se a série é telescópica. Queremos escrever
\frac{1}{n(n+1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1},
e determinar A e B. Multiplicando ambos os lados por n(n+1) obtemos
1=A(n+1)+Bn.
Isso é uma identidade em n, então basta igualar coeficientes ou testar valores. Fazendo n=0 1=A. Fazendo n=-1 1=-B. Assim A=1 e B=-1. Portanto
\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.

Passo 4

Agora escrevemos a soma parcial S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n(n+1)} usando a decomposição:
S_N=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right).
Vamos expandir os primeiros termos para ver o cancelamento (telescópico):
S_N=\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1}\right).
Ao somar, quase todos os termos internos cancelam, sobrando apenas
S_N=1-\frac{1}{N+1}.

Passo 5

Para decidir convergência, analisamos o limite das somas parciais S_N quando N\to\infty. Temos
\lim_{N\to\infty} S_N=\lim_{N\to\infty}\left(1-\frac{1}{N+1}\right)=1-0=1.
Como o limite das somas parciais existe e é finito, a série converge (mais: converge absolutamente, pois todos os termos são positivos).

Passo 6

Resumo didático rápido: transformamos o termo com fatoriais em uma forma simples usando cancelamento, aplicamos frações parciais para obter uma soma telescópica, calculamos a soma parcial fechada S_N e então tomamos o limite quando N\to\infty. Esse é um padrão útil em provas: sempre vale a pena tentar simplificar fatoriais e testar se a sequência de termos se desmembra em diferença de duas parcelas que se cancelam.

Resposta

A série converge e \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n-1)!}{(n+1)!}=1

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