Determine se a série dada é convergente ou divergente.
15.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n!}{(2 n)!}

Passo 1

O enunciado pede: determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n!}{(2n)!}
é convergente ou divergente. Informação dada:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{n!}{(2n)!}.
  • A soma é sobre n=1,2,3,\dots.
Observações úteis que já podemos fazer sem calcular nada ainda:
  • Todos os termos a_n são positivos, pois são quocientes de fatoriais positivos.
  • Como os termos são positivos, basta mostrar convergência absoluta (que aqui coincide com convergência simples).

Passo 2

Escolha do método de resolução (justificando como se estivesse na prova): o enunciado não exige método específico. Quando aparecem fatoriais, o teste da razão (teste de d’Alembert) costuma ser o mais direto, porque ao formar \dfrac{a_{n+1}}{a_n} muitos fatores se cancelam. Vou usar o teste da razão por ser o método mais simples e eficaz aqui.

Passo 3

Explicando o teste da razão de forma didática:
  • Seja uma série com termo geral a_n (podendo ser complexo). Define-se
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
  • Regras do teste:
    • Se L<1 então a série \sum a_n converge absolutamente (logo converge).
    • Se L>1 então a série diverge.
    • Se L=1 o teste é inconclusivo.
  • Aqui cada variável significa:
    • a_n é o termo geral da série.
    • L é o limite da razão entre termos consecutivos, que mede a taxa de decaimento dos termos.

Passo 4

Aplicando o teste da razão ao nosso a_n. Primeiro escrevo a_n e a_{n+1}:
a_n=\frac{n!}{(2n)!},\qquad a_{n+1}=\frac{(n+1)!}{(2n+2)!}.
Formo a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n} e simplifico passo a passo:
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\dfrac{(n+1)!}{(2n+2)!}}{\dfrac{n!}{(2n)!}} =\frac{(n+1)!}{(2n+2)!}\cdot\frac{(2n)!}{n!}.
Agora cancelo n! em (n+1)! e escrevo (2n+2)! como (2n+2)(2n+1)(2n)!:
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{(n+1)\,n!}{(2n+2)(2n+1)(2n)!}\cdot\frac{(2n)!}{n!} =\frac{n+1}{(2n+2)(2n+1)}.
Fatorando 2n+2=2(n+1) obtemos
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{n+1}{2(n+1)(2n+1)} =\frac{1}{2(2n+1)} =\frac{1}{4n+2}.

Passo 5

Calculo o limite da razão quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{4n+2}=0.
Como L=0<1, pelo teste da razão a série converge absolutamente, portanto converge.
Explicação intuitiva: a razão entre termos consecutivos vai para zero, isto é, os termos diminuem muito rapidamente (bem mais rápido do que uma progressão geométrica com razão fixa menor que 1), então a soma infinita tem valor finito.

Passo 6

Comentário final para encorajar: visto que o limite da razão é zero, a convergência é muito forte — os termos tornam-se negligivelmente pequenos muito rápido. Esse tipo de exercício com fatoriais quase sempre pede o teste da razão; decorar esse truque ajuda bastante na prova.

Resposta

Convergente.

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