Determine se a série dada é convergente ou divergente.
15.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n!}{(2 n)!}
Passo 1
O enunciado pede: determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n!}{(2n)!}
é convergente ou divergente. Informação dada:
O termo geral é a_n=\dfrac{n!}{(2n)!}.
A soma é sobre n=1,2,3,\dots.
Observações úteis que já podemos fazer sem calcular nada ainda:
Todos os termos a_n são positivos, pois são quocientes de fatoriais positivos.
Como os termos são positivos, basta mostrar convergência absoluta (que aqui coincide com convergência simples).
Passo 2
Escolha do método de resolução (justificando como se estivesse na prova): o enunciado não exige método específico. Quando aparecem fatoriais, o teste da razão (teste de d’Alembert) costuma ser o mais direto, porque ao formar \dfrac{a_{n+1}}{a_n} muitos fatores se cancelam. Vou usar o teste da razão por ser o método mais simples e eficaz aqui.
Passo 3
Explicando o teste da razão de forma didática:
Seja uma série com termo geral a_n (podendo ser complexo). Define-se
Como L=0<1, pelo teste da razão a série converge absolutamente, portanto converge.
Explicação intuitiva: a razão entre termos consecutivos vai para zero, isto é, os termos diminuem muito rapidamente (bem mais rápido do que uma progressão geométrica com razão fixa menor que 1), então a soma infinita tem valor finito.
Passo 6
Comentário final para encorajar: visto que o limite da razão é zero, a convergência é muito forte — os termos tornam-se negligivelmente pequenos muito rápido. Esse tipo de exercício com fatoriais quase sempre pede o teste da razão; decorar esse truque ajuda bastante na prova.