Determine se a série dada é convergente ou divergente.
17.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{|\operatorname{cosec} n|}{n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{|\operatorname{cosec} n|}{n}
é convergente ou divergente. Informações relevantes que o enunciado nos dá:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{|\operatorname{cosec} n|}{n}=\dfrac{1}{n|\sin n|}.
  • A variável n é o índice inteiro positivo (os argumentos das funções trigonométricas estão em radianos).
    A tarefa é decidir convergência ou divergência da soma infinita desses a_n.

Passo 2

Lembrete essencial (ferramenta básica que sempre uso primeiro): se uma série \sum a_n convergisse, então o termo geral teria de tender a zero:
\text{se }\sum a_n \text{ converge então } a_n\to 0.ã
Portanto, verificar se a_n\to 0 é um passo natural: se não for verdade, a série diverge automaticamente (teste da divergência). Vou checar se a_n=\dfrac{1}{n|\sin n|} tende a zero.

Passo 3

Precisamos estudar o comportamento de |\sin n| quando n é inteiro. Aqui entram duas observações importantes, explicadas de forma simples:
  • O número \pi é irracional, então os múltiplos q\pi (com q\in\mathbb{N}) não caem exatamente em inteiros, e a aproximação racional de \pi permite que existam frações p/q muito próximas de \pi.
  • Um resultado de aproximação de números irracionais (forma prática do Teorema de Dirichlet) diz que existem infinitos pares inteiros (p,q) com q\ge 1 tais que
\left|\pi-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^2},
o que é equivalente a
|p-q\pi|<\frac{1}{q}.
(Essa desigualdade diz: existem inteiros p muito próximos de q\pi para infinitos q.)

Passo 4

Vou usar esses pares (p,q) fornecidos pelo teorema. Para cada par com
|p-q\pi|<\frac{1}{q},
temos
\sin p=\sin\bigl(p-q\pi\bigr)\qquad\text{(porque \(\sin(x+m\pi)=\pm\sin x\) para inteiro \(m\))}.
Como para todo x vale |\sin x|\le |x|, segue
|\sin p| \le |p-q\pi| < \frac{1}{q}.
Daí
|\operatorname{cosec} p|=\frac{1}{|\sin p|} > q.
Portanto, para esses índices n=p temos
a_p=\frac{|\operatorname{cosec} p|}{p}>\frac{q}{p}.

Passo 5

Agora faço uma estimativa simples para transformar \dfrac{q}{p} numa constante positiva: da desigualdade |p-q\pi|<\dfrac{1}{q} obtemos
p<q\pi+\frac{1}{q}\le q\pi+1\quad\text{(para todo \(q\ge1\))}.
Logo
\frac{q}{p}>\frac{q}{q\pi+1}=\frac{1}{\pi+\tfrac{1}{q}}\ge\frac{1}{\pi+1}.
Assim, para cada par (p,q) escolhido pelo teorema existe um índice n=p tal que
a_p>\frac{1}{\pi+1}.
Como o teorema garante infinitos pares (p,q), existem infinitos índices n para os quais a_n>\dfrac{1}{\pi+1}. Em particular a sequência (a_n) não tende a zero: seu limite não pode ser 0 porque tem infinitos termos maiores ou iguais a \dfrac{1}{\pi+1}>0.

Passo 6

Conclusão pelo teste da divergência: como o termo geral a_n não tende a zero, a série
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{|\operatorname{cosec} n|}{n}
não pode convergir. Portanto ela diverge.

Resposta

Divergente.

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