é convergente ou divergente. Informações relevantes que o enunciado nos dá:
O termo geral da série é a_n=\dfrac{|\operatorname{cosec} n|}{n}=\dfrac{1}{n|\sin n|}.
A variável n é o índice inteiro positivo (os argumentos das funções trigonométricas estão em radianos).
A tarefa é decidir convergência ou divergência da soma infinita desses a_n.
Passo 2
Lembrete essencial (ferramenta básica que sempre uso primeiro): se uma série \sum a_n convergisse, então o termo geral teria de tender a zero:
\text{se }\sum a_n \text{ converge então } a_n\to 0.
Portanto, verificar se a_n\to 0 é um passo natural: se não for verdade, a série diverge automaticamente (teste da divergência). Vou checar se a_n=\dfrac{1}{n|\sin n|} tende a zero.
Passo 3
Precisamos estudar o comportamento de |\sin n| quando n é inteiro. Aqui entram duas observações importantes, explicadas de forma simples:
O número \pi é irracional, então os múltiplos q\pi (com q\in\mathbb{N}) não caem exatamente em inteiros, e a aproximação racional de \pi permite que existam frações p/q muito próximas de \pi.
Um resultado de aproximação de números irracionais (forma prática do Teorema de Dirichlet) diz que existem infinitos pares inteiros (p,q) com q\ge 1 tais que
\left|\pi-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^2},
o que é equivalente a
|p-q\pi|<\frac{1}{q}.
(Essa desigualdade diz: existem inteiros p muito próximos de q\pi para infinitos q.)
Passo 4
Vou usar esses pares (p,q) fornecidos pelo teorema. Para cada par com
|p-q\pi|<\frac{1}{q},
temos
\sin p=\sin\bigl(p-q\pi\bigr)\qquad\text{(porque \(\sin(x+m\pi)=\pm\sin x\) para inteiro \(m\))}.
Assim, para cada par (p,q) escolhido pelo teorema existe um índice n=p tal que
a_p>\frac{1}{\pi+1}.
Como o teorema garante infinitos pares (p,q), existem infinitos índices n para os quais a_n>\dfrac{1}{\pi+1}. Em particular a sequência (a_n) não tende a zero: seu limite não pode ser 0 porque tem infinitos termos maiores ou iguais a \dfrac{1}{\pi+1}>0.
Passo 6
Conclusão pelo teste da divergência: como o termo geral a_n não tende a zero, a série