Determine se a série dada é convergente ou divergente.
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. O conteúdo envolve testes de convergência de séries infinitas, e vamos precisar usar o teste da divergência (termo geral) e, opcionalmente, o teste da razão para confirmar.
Passo 2
Primeiro, lembramos que um requisito necessário para uma série
convergir é que
quando
. Se
não tende a zero, a série diverge imediatamente.
Vamos verificar o limite do termo geral:
Vamos verificar o limite do termo geral:
Passo 3
Para ver o comportamento de ordem de grandeza, analisamos a parte positiva:
Como o fatorial
Passo 4
Pelo teste da divergência (termo geral), se
não tende a zero, então a série
diverge.
Passo 5
Alternativamente, pelo teste da razão, temos
e como
Resposta
A série diverge, pois o termo geral não tende a zero.