Determine se a série dada é convergente ou divergente.
(d) sumn=1^infty(-1)^n n!2^n+1

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série sumn=1^infty(-1)^nn!2^n+1 é convergente ou divergente. O conteúdo envolve testes de convergência de séries infinitas, e vamos precisar usar o teste da divergência (termo geral) e, opcionalmente, o teste da razão para confirmar.

Passo 2

Primeiro, lembramos que um requisito necessário para uma série sum an convergir é que anto0 quando ntoinfty. Se an não tende a zero, a série diverge imediatamente.
Vamos verificar o limite do termo geral:
limntoinfty(-1)^nn!2^n+1

Passo 3

Para ver o comportamento de ordem de grandeza, analisamos a parte positiva:
limntoinftyn!2^n+1
Como o fatorial n! cresce muito mais rápido que 2^n, esse limite é +infty. Logo,
limntoinfty(-1)^nn!2^n+1 não existe como zero e, na verdade, não tende a zeroãã

Passo 4

Pelo teste da divergência (termo geral), se an não tende a zero, então a série sum an diverge.

Passo 5

Alternativamente, pelo teste da razão, temos
|an+1an|=(n+1)!/2^n+2n!/2^n+1=n+12,
e como n+12toinfty>1, a série também diverge pelo teste da razão.

Resposta

A série diverge, pois o termo geral não tende a zero.

Exercícios relacionados