Determine se a série dada é convergente ou divergente.
(a) sumn=1^infty(-23)^n

Passo 1

Nesse exercício, a gente tem a série infinita sumn=1^inftyl(-tfrac23r)^n. O conteúdo aqui é séries geométricas, e vamos precisar usar o critério de convergência para séries do tipo sum a r^n-1 ou sum r^n.

Passo 2

Uma série geométrica de razão r converge se, e somente se, |r|<1. Nesse caso, o somatório tende a tfraca11-r, onde a1 é o primeiro termo.

Passo 3

Aqui o primeiro termo é a1=l(-tfrac23r)^1=-tfrac23 e a razão é r=-tfrac23. Como |r|=tfrac23<1, a série converge.

Passo 4

Para encontrar a soma, usamos
S=a11-r=-tfrac231-l(-tfrac23r)=-tfrac231+tfrac23=-tfrac23tfrac53=-tfrac25

Resposta

A série converge e seu valor é -tfrac25.

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