Calcule a seguinte integral definida utilizando integração por partes.
integral x e^3 x cdot d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x,e^3x,dx usando integração por partes. O conteúdo principal é a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du.

Passo 2

Escolhemos
u = x e dv = e^3x,dx.
Derivando u e integrando dv, temos
du = dx
v = integral e^3x,dx = 13e^3x.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x,e^3x,dx = u,v - integral v,du = xcdot13e^3x - integral 13e^3x,dx

Passo 4

Agora basta calcular a integral remanescente:
integral 13e^3x,dx = 13cdot13e^3x = 19e^3x
Substituindo de volta e simplificando:
integral x,e^3x,dx = x e^3x3 - e^3x9 + C = e^3x9(3x - 1) + C

Resposta

integral x,e^3x,dx = e^3x9(3x - 1) + C

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