Determine se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, obtenha a sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2 n}+\frac{1}{2^{n}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2 n}+\frac{1}{2^{n}}\right)
é convergente ou divergente. Se for convergente, devemos também obter a sua soma.
Dados fornecidos que são relevantes:
  • O termo geral da série é \frac{1}{2n}+\frac{1}{2^{n}} para n=1,2,3,\dots.
  • Cada parcela é não negativa (isto é, \frac{1}{2n}\ge0 e \frac{1}{2^{n}}\ge0 para todo n).
  • Podemos escrever a série como soma termo a termo de duas séries:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}\quad\text{e}\quad\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}.

Passo 2

Explico por que é útil separar a série em duas: defina as somas parciais
S_N=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{2n}+\frac{1}{2^{n}}\right),
A_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{2n}, \qquad B_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{2^{n}}.
Então sempre vale a igualdade para cada N:
S_N = A_N + B_N.
Como os termos são não negativos, o comportamento das somas parciais nos permite concluir que a série original converge se e somente se A_N e B_N têm limites finitos quando N\to\infty; se algum dos dois diverge para +\infty, então S_N\to+\infty e a série diverge. Vou estudar separadamente A:=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2n} e B:=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^n}.

Passo 3

Análise de \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}.
Observe que
\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n},
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\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n} =\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.
A série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} é a famosa série harmônica. Vou mostrar por um critério clássico que ela diverge: o Teste da Integral (ou um argumento de comparação equivalente).
Passo-a-passo do Teste da Integral (versão curta):
  • Considere a função f(x)=\dfrac{1}{x} para x\ge1. Essa função é positiva e decrescente para x\ge1.
  • O Teste da Integral diz: se \displaystyle\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx diverge, então a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} f(n) também diverge.
  • Calcule a integral:
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx =\lim_{t\to\infty}\int_{1}^{t}\frac{1}{x}\,dx =\lim_{t\to\infty}\big(\ln t - \ln 1\big) =\lim_{t\to\infty}\ln t=+\infty.
  • Portanto \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} diverge; sendo assim, multiplicando por \dfrac{1}{2}, temos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=+\infty.
Resumo: a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n} diverge (para +\infty).

Passo 4

Análise de \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}.
Isto é uma série geométrica com primeiro termo a=\dfrac{1}{2} (quando n=1) e razão r=\dfrac{1}{2}. Vou lembrar a fórmula da soma de uma série geométrica convergente e derivá-la rapidamente:
Para uma série geométrica com termos a, ar, ar^2,\dots, a soma parcial até N é
S_N^{(g)}=a+ar+\cdots+ar^{N-1}=a\frac{1-r^{N}}{1-r}\qquad(\text{quando }r\neq1).
Se |r|<1, então r^{N}\to0 quando N\to\infty, e portanto a soma infinita é
\sum_{n=1}^{\infty}ar^{\,n-1}=\frac{a}{1-r}.
No nosso caso, escrevendo a série começando em n=1:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}} =\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^{\,n-1}.
Aqui a=\dfrac{1}{2} e r=\dfrac{1}{2} com |r|<1. Então a soma é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{2}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}}=1.
Portanto a segunda série converge e sua soma é 1.

Passo 5

Combinação dos resultados e conclusão final.
Tínhamos S_N=A_N+B_N para cada N. Quando N\to\infty temos:
  • A_N=\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{2n}\to+\infty (ver Passo 3),
  • B_N=\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{2^{n}}\to 1 (ver Passo 4).
Logo
S_N = A_N + B_N \to +\infty + 1 = +\infty.
Como as somas parciais divergem para +\infty, a série original diverge (mais precisamente, diverge para +\infty). Intuitivamente: somar uma parcela que cresce sem limite ( \frac{1}{2n} acumulada) com outra que tem soma finita não pode dar uma soma finita.
Força aí — parece pior do que é: a parte que causa a divergência é apenas \frac{1}{2n}, que é metade da harmônica, e a outra parte é perfeitamente controlada.

Resposta

A série diverge; \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2 n}+\frac{1}{2^{n}}\right)=+\infty.

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