Determine se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, obtenha a sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, devemos também obter a sua soma.
Dados fornecidos que são relevantes:
Dados fornecidos que são relevantes:
- O termo geral da série é
para . - Cada parcela é não negativa (isto é,
e para todo ). - Podemos escrever a série como soma termo a termo de duas séries:
Passo 2
Explico por que é útil separar a série em duas: defina as somas parciais
Então sempre vale a igualdade para cada
:
Como os termos são não negativos, o comportamento das somas parciais nos permite concluir que a série original converge se e somente se
e
têm limites finitos quando
; se algum dos dois diverge para
, então
e a série diverge. Vou estudar separadamente
e
.
Passo 3
Análise de
.
Observe que
logo
A série
é a famosa série harmônica. Vou mostrar por um critério clássico que ela diverge: o Teste da Integral (ou um argumento de comparação equivalente).
Passo-a-passo do Teste da Integral (versão curta):
- Considere a função
para . Essa função é positiva e decrescente para . - O Teste da Integral diz: se
diverge, então a série também diverge. - Calcule a integral:
- Portanto
diverge; sendo assim, multiplicando por , temos
Resumo: a série
diverge (para
).
Passo 4
Análise de
.
Isto é uma série geométrica com primeiro termo
(quando
) e razão
. Vou lembrar a fórmula da soma de uma série geométrica convergente e derivá-la rapidamente:
Para uma série geométrica com termos
, a soma parcial até
é
Se
, então
quando
, e portanto a soma infinita é
No nosso caso, escrevendo a série começando em
:
Aqui
e
com
. Então a soma é
Portanto a segunda série converge e sua soma é
.
Passo 5
Combinação dos resultados e conclusão final.
Tínhamos
para cada
. Quando
temos:
-
(ver Passo 3), -
(ver Passo 4).
Logo
Como as somas parciais divergem para
, a série original diverge (mais precisamente, diverge para
). Intuitivamente: somar uma parcela que cresce sem limite (
acumulada) com outra que tem soma finita não pode dar uma soma finita.
Força aí — parece pior do que é: a parte que causa a divergência é apenas
, que é metade da harmônica, e a outra parte é perfeitamente controlada.
Resposta
A série diverge;
.