Determine se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, obtenha a sua soma. \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{3}{2^{n}}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{3}{2^{n}}
é convergente ou divergente e, se for convergente, obter a sua soma.
Informações dadas: a série é indexada por n=1,2,3,\dots e o termo geral é (-1)^{n+1}\dfrac{3}{2^{n}}. Não há mais dados externos.
Passo 2
Identificação do tipo de série: vamos analisar o termo geral para ver se a série é geométrica. Escrevendo o termo geral como produto:
a_n = (-1)^{n+1}\frac{3}{2^{n}}.
Observando a razão entre termos consecutivos, podemos verificar se existe uma razão constante r tal que a_{n+1}=r\,a_n.
Se |r|\ge 1, a série diverge. Aqui a_1 é o primeiro termo (o valor do termo para n=1) e r é a razão geométrica (a razão constante entre termos consecutivos).
Passo 6
Aplicando ao nosso caso: temos a_1=\dfrac{3}{2} e r=-\dfrac{1}{2}. Como