Determine se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, obtenha a sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{3}{2^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{3}{2^{n}}
é convergente ou divergente e, se for convergente, obter a sua soma.
Informações dadas: a série é indexada por n=1,2,3,\dots e o termo geral é (-1)^{n+1}\dfrac{3}{2^{n}}. Não há mais dados externos.

Passo 2

Identificação do tipo de série: vamos analisar o termo geral para ver se a série é geométrica. Escrevendo o termo geral como produto:
a_n = (-1)^{n+1}\frac{3}{2^{n}}.
Observando a razão entre termos consecutivos, podemos verificar se existe uma razão constante r tal que a_{n+1}=r\,a_n.

Passo 3

Cálculo da razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(-1)^{(n+1)+1}\dfrac{3}{2^{\,n+1}}}{(-1)^{n+1}\dfrac{3}{2^{n}}} = \frac{(-1)^{n+2}}{(-1)^{n+1}}\cdot\frac{1}{2} = (-1)\cdot\frac{1}{2} = -\frac{1}{2}.
Como a razão é constante e igual a r=-\tfrac{1}{2}, a série é uma série geométrica.

Passo 4

Identificação do primeiro termo: calcule a_1 substituindo n=1:
a_1 = (-1)^{1+1}\frac{3}{2^{1}} = 1\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{2}.
Portanto a série pode ser vista como a série geométrica com primeiro termo a_1=\dfrac{3}{2} e razão r=-\dfrac{1}{2}.

Passo 5

Teoria necessária (mini-aula sobre séries geométricas):
Uma série geométrica com primeiro termo a_1 e razão r é
\sum_{n=1}^{\infty} a_1\,r^{\,n-1}.
A soma da soma parcial até N é
S_N = a_1\frac{1-r^{N}}{1-r}\qquad\text{(para }r\neq 1\text{)}.
Se |r|<1, então r^{N}\to 0 quando N\to\infty, e a série converge com soma
S=\lim_{N\to\infty}S_N = a_1\frac{1}{1-r}=\frac{a_1}{1-r}.
Se |r|\ge 1, a série diverge. Aqui a_1 é o primeiro termo (o valor do termo para n=1) e r é a razão geométrica (a razão constante entre termos consecutivos).

Passo 6

Aplicando ao nosso caso: temos a_1=\dfrac{3}{2} e r=-\dfrac{1}{2}. Como
\left|r\right|=\left|-\tfrac{1}{2}\right|=\tfrac{1}{2}<1,
a série converge. A soma é
S=\frac{a_1}{1-r} = \frac{\dfrac{3}{2}}{1-(-\tfrac{1}{2})} = \frac{\dfrac{3}{2}}{1+\tfrac{1}{2}} = \frac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{3}{2}} =1.

Resposta

Convergente.
Soma = 1

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