Determine se a série dada é convergente ou divergente usando um teste de comparação.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 n+1}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2n+1}}
e pede para determinar se ela é convergente ou divergente usando um teste de comparação.
Informações relevantes que temos: os termos são positivos para todo n e, para n grande, a expressão \frac{1}{\sqrt{2n+1}} se parece com uma constante vezes \frac{1}{\sqrt{n}}. A pergunta é: a série converge ou diverge?

Passo 2

Vou usar o teste da comparação por limites (limit comparison test). Motivo: quando os termos de duas séries positivas são assintoticamente proporcionais (ou seja, a razão tende a uma constante positiva), o teste por limites é rápido e direto — evita ficar tentando desigualdades complicadas. O enunciado pediu “um teste de comparação”, e o teste por limites é uma forma padrão de comparação.

Passo 3

Enunciado do teste da comparação por limites (explicado de forma simples): sejam (a_n) e (b_n) duas sequências de termos positivos. Se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
existe e 0<L<\infty, então as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem. Aqui vou escolher a_n=\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}} (a nossa sequência) e b_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}} (a série p-série com p=\tfrac12), porque é bem conhecido o comportamento da p-série.

Passo 4

Definindo explicitamente
a_n=\frac{1}{\sqrt{2n+1}},\qquad b_n=\frac{1}{\sqrt{n}},
calculo a razão:
\frac{a_n}{b_n}=\frac{1/\sqrt{2n+1}}{1/\sqrt{n}}=\sqrt{\frac{n}{2n+1}}.
Agora calculo o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{n}{2n+1}} =\sqrt{\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+1}} =\sqrt{\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2+1/n}} =\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Esse limite é um número finito e positivo (ou seja, 0<\dfrac{1}{\sqrt{2}}<\infty), então pelo teste da comparação por limites a série \sum a_n tem o mesmo comportamento que \sum b_n.

Passo 5

Agora precisamos saber o comportamento de \sum b_n=\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{\sqrt{n}}=\sum_{n=1}^\infty n^{-1/2}. Esta é uma p-série com p=\tfrac{1}{2}. Fato conhecido: uma p-série \sum n^{-p} converge se, e somente se, p>1; se p\le 1 ela diverge. Como aqui p=\tfrac{1}{2}\le 1, a série \sum n^{-1/2} diverge.
(Se quiser uma justificativa rápida: pelo teste da integral, \displaystyle\int_{1}^{\infty} x^{-1/2}\,dx=\left[2x^{1/2}\right]_1^{\infty}=\infty, logo a série correspondente diverge.)

Passo 6

Como \sum b_n diverge e a razão limite entre a_n e b_n é um número positivo e finito, concluímos pelo teste da comparação por limites que \sum a_n=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2n+1}} também diverge.

Resposta

Divergente

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