Determine se a série dada é convergente ou divergente usando um teste de comparação.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para determinar se ela é convergente ou divergente usando um teste de comparação.
Informações relevantes que temos: os termos são positivos para todo e, para
grande, a expressão
se parece com uma constante vezes
. A pergunta é: a série converge ou diverge?
Informações relevantes que temos: os termos são positivos para todo
Passo 2
Vou usar o teste da comparação por limites (limit comparison test). Motivo: quando os termos de duas séries positivas são assintoticamente proporcionais (ou seja, a razão tende a uma constante positiva), o teste por limites é rápido e direto — evita ficar tentando desigualdades complicadas. O enunciado pediu “um teste de comparação”, e o teste por limites é uma forma padrão de comparação.
Passo 3
Enunciado do teste da comparação por limites (explicado de forma simples): sejam
e
duas sequências de termos positivos. Se
existe e
, então as séries
e
têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem. Aqui vou escolher
(a nossa sequência) e
(a série
-série com
), porque é bem conhecido o comportamento da
-série.
Passo 4
Definindo explicitamente
calculo a razão:
Agora calculo o limite quando
:
Esse limite é um número finito e positivo (ou seja,
), então pelo teste da comparação por limites a série
tem o mesmo comportamento que
.
Passo 5
Agora precisamos saber o comportamento de
. Esta é uma
-série com
. Fato conhecido: uma
-série
converge se, e somente se,
; se
ela diverge. Como aqui
, a série
diverge.
(Se quiser uma justificativa rápida: pelo teste da integral,
, logo a série correspondente diverge.)
Passo 6
Como
diverge e a razão limite entre
e
é um número positivo e finito, concluímos pelo teste da comparação por limites que
também diverge.
Resposta
Divergente