Determine se a série dada é convergente ou divergente usando um teste de comparação.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente usando um teste de comparação. Informações dadas e relevantes: a série tem termos positivos
. Não há mais condições especiais — precisamos decidir convergência absoluta/condicional? (como os termos são positivos, basta decidir convergência simples). A estratégia pedida é um teste de comparação.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão do termo geral para entender seu comportamento quando
é grande. Fatorando
dentro da raiz:
Logo o termo geral pode ser escrito como
Isto ajuda a ver que, para
grande,
se comporta como
.
Passo 3
Agora explico o teste de comparação que vamos usar e um resultado auxiliar que precisamos conhecer (e entender para a prova):
- Teste de comparação direta (versão usada aqui): se temos duas sequências de termos não negativos
para todo suficientemente grande, e converge, então também converge. A ideia intuitiva é que se os termos são sempre menores que termos de uma série que já converge, então as somas parciais de não podem “ultrapassar” uma soma finita. - Série-p (p-series): a série
converge se, e somente se, . Um motivo simples (usando o teste da integral) é que é finita quando e infinita quando .
Passo 4
Vamos comparar
com uma série-p adequada. Observe que para todo
temos
, então
e, consequentemente,
Usando essa desigualdade na expressão de
,
Portanto, para todo
,
Passo 5
A série
é um múltiplo constante da série-p
. Como
, a série-p converge; multiplicar por
não altera a convergência. Portanto
converge.
Passo 6
Aplicando o teste de comparação direta: temos
para todo
e sabemos que
converge; logo a série
também converge.
Resposta
Convergente.