Determine se a série dada é convergente ou divergente usando um teste de comparação.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{\sqrt{n^{3}+n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{\sqrt{n^{3}+n}}
é convergente ou divergente usando um teste de comparação. Informações dadas e relevantes: a série tem termos positivos a_n=\dfrac{3}{\sqrt{n^{3}+n}}. Não há mais condições especiais — precisamos decidir convergência absoluta/condicional? (como os termos são positivos, basta decidir convergência simples). A estratégia pedida é um teste de comparação.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão do termo geral para entender seu comportamento quando n é grande. Fatorando n^{3} dentro da raiz:
\sqrt{n^{3}+n}=\sqrt{n^{3}\!\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)}=n^{3/2}\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}.
Logo o termo geral pode ser escrito como
a_n=\frac{3}{\sqrt{n^{3}+n}}=\frac{3}{n^{3/2}\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}}.
Isto ajuda a ver que, para n grande, a_n se comporta como 3/n^{3/2}.

Passo 3

Agora explico o teste de comparação que vamos usar e um resultado auxiliar que precisamos conhecer (e entender para a prova):
  • Teste de comparação direta (versão usada aqui): se temos duas sequências de termos não negativos 0\le a_n\le b_n para todo n suficientemente grande, e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge. A ideia intuitiva é que se os termos a_n são sempre menores que termos de uma série que já converge, então as somas parciais de a_n não podem “ultrapassar” uma soma finita.
  • Série-p (p-series): a série \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1. Um motivo simples (usando o teste da integral) é que \int_1^\infty x^{-p}\,dx é finita quando p>1 e infinita quando p\le1.

Passo 4

Vamos comparar a_n com uma série-p adequada. Observe que para todo n\ge1 temos \dfrac{1}{n^{2}}\ge0, então 1+\dfrac{1}{n^{2}}\ge1 e, consequentemente,
\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}\ge 1.
Usando essa desigualdade na expressão de a_n,
a_n=\frac{3}{n^{3/2}\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}}\le \frac{3}{n^{3/2}\cdot 1}=\frac{3}{n^{3/2}}.
Portanto, para todo n\ge1,
0\le a_n \le \frac{3}{n^{3/2}}.

Passo 5

A série \sum_{n=1}^\infty \dfrac{3}{n^{3/2}} é um múltiplo constante da série-p \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^{3/2}}. Como p=\tfrac{3}{2}>1, a série-p converge; multiplicar por 3 não altera a convergência. Portanto \sum_{n=1}^\infty \dfrac{3}{n^{3/2}} converge.

Passo 6

Aplicando o teste de comparação direta: temos 0\le a_n\le 3/n^{3/2} para todo n e sabemos que \sum 3/n^{3/2} converge; logo a série \sum a_n=\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{3}{\sqrt{n^{3}+n}} também converge.

Resposta

Convergente.

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