Determine a matriz inversa de cada matriz abaixo:
A=\left[\begin{array}{ll}5 & 6 \\\\ 4 & 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a matriz inversa de
A = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\[6pt] 4 & 5 \end{pmatrix}.
O conteúdo que vamos usar é a fórmula para inversa de uma matriz 2\times2: se
A = \begin{pmatrix} a & b \\[4pt] c & d \end{pmatrix},
então, desde que \det(A)=ad - bc \neq 0,
A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\[4pt] -c & a \end{pmatrix}.]

Passo 2

Calcular o determinante de A. Nele temos
a = 5,\quad b = 6,\quad c = 4,\quad d = 5,
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\det(A) = ad - bc = 5\cdot5 - 6\cdot4 = 25 - 24 = 1.

Passo 3

Formar a matriz adjunta (adjugada), que em 2\times2 é
\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} d & -b \\[4pt] -c & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -6 \\[4pt] -4 & 5 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Aplicar a fórmula da inversa dividindo a adjunta pelo determinante. Como \det(A)=1, basta
A^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix} 5 & -6 \\[4pt] -4 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -6 \\[4pt] -4 & 5 \end{pmatrix}.]

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} 5 & -6 \\[4pt] -4 & 5 \end{pmatrix}.]

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