Determine se a série dada é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos começar! A questão pede para a gente determinar se a série
converge ou diverge. Isso está dentro do estudo de séries infinitas na matemática. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre séries harmônicas e como aplicar testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, reconhecemos que a série dada é parecida com a série harmônica, que é
. A série harmônica é famosa por ser divergente, ou seja, ela não soma para um número finito.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a nossa série:
. Podemos reescrever os termos dessa série para torná-la ainda mais clara:
Se somarmos esses termos a partir de
até o infinito, a gente percebe que é como a série harmônica, só que começando um pouco depois:
Passo 4
Sabemos que a série harmônica geral
é divergente. Mudar o índice de onde a soma começa (neste caso, a partir de
) não muda a natureza da série. Ela continua sem somar para um valor finito. Portanto, nossa série
também é divergente.
Resposta
A série
é divergente.