Determine se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^infty 1n+2

Passo 1

Beleza, vamos começar! A questão pede para a gente determinar se a série sumn=1^infty 1n+2 converge ou diverge. Isso está dentro do estudo de séries infinitas na matemática. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre séries harmônicas e como aplicar testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que a série dada é parecida com a série harmônica, que é sumn=1^infty 1n. A série harmônica é famosa por ser divergente, ou seja, ela não soma para um número finito.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a nossa série: sumn=1^infty 1n+2. Podemos reescrever os termos dessa série para torná-la ainda mais clara:
1n+2 = 1(n+2)
Se somarmos esses termos a partir de n=1 até o infinito, a gente percebe que é como a série harmônica, só que começando um pouco depois:
sumn=1^infty 1n+2 = sumk=3^infty 1k

Passo 4

Sabemos que a série harmônica geral sumk=1^infty 1k é divergente. Mudar o índice de onde a soma começa (neste caso, a partir de k=3) não muda a natureza da série. Ela continua sem somar para um valor finito. Portanto, nossa série sumk=3^infty 1k também é divergente.

Resposta

A série sumn=1^infty 1n+2 é divergente.

Exercícios relacionados