Determine se a série dada é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln(n)}{n} $ é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de Séries Numéricas, especificamente o Teste da Integral, que nos ajuda a entender o comportamento de séries envolvendo funções contínuas e decrescentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a série ser convergente ou divergente. Uma série é convergente se a soma dos seus termos se aproxima de um valor finito à medida que somamos mais termos. Caso contrário, dizemos que ela é divergente.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Integral. Esse teste funciona assim: se a função $ f(n) = \frac{\ln(n)}{n} $ for positiva, contínua e decrescente para $ n \geq 1 $, então a série $ \sum_{n=1}^{\infty} f(n) $ e a integral $ \int_{1}^{\infty} f(x) , dx $ têm o mesmo comportamento de convergência ou divergência.
Passo 4
Vamos verificar se $ f(x) = \frac{\ln(x)}{x} $ é positiva, contínua e decrescente para $ x \geq 1 $:
- Positiva: Para $ x > 1 $, $ \ln(x) > 0 $ e $ x > 0 $, então $ \frac{\ln(x)}{x} > 0 $.
- Contínua: A função $ \ln(x) $ é contínua para $ x > 0 $, e $ x $ no denominador não é zero para $ x \geq 1 $.
- Decrescente: Vamos derivar $ f(x) $ para verificar se é decrescente:
Para $ x \geq 1 $, $ x > \ln(x) $, então $ f’(x) > 0 $. Isso indica que a função é crescente, não decrescente.
Passo 5
Como a função não é decrescente, o Teste da Integral não pode ser aplicado diretamente. Vamos então usar o Teste da Comparação.
Sabemos que a série harmônica $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} $ é divergente. Vamos comparar $ \frac{\ln(n)}{n} $ com $ \frac{1}{n} $:
Para $ n \geq 2 $, $ \ln(n) \geq \ln(2) > 0 $, então:
Como $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln(2)}{n} = \ln(2) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} $ também é divergente, pela comparação direta, nossa série original também é divergente.
Resposta
A série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln(n)}{n} $ é divergente.