Resolva a equação diferencial dada usando a substituição apropriada.
Passo 1
O enunciado pede pra resolver a equação diferencial de primeira ordem
eq, usando substituição apropriada. Isso é uma equação homogênea (ambos os termos têm grau 3 em x e y), então vamos usar a substituição
Passo 2
Escrevendo em forma diferencial exata, temos
Como a equação é homogênea, fazemos
Passo 3
Substituindo
em
dá
Fatorando
Passo 4
Na última equação ajustamos os termos corretamente: a divisão leva a
(Esse passo serve só de ilustração; vamos fazer as integrais diretas no próximo passo.)
Passo 5
Integrando separadamente:
Para
Combinando tudo, obtemos
Passo 6
Voltando à variável original
e exponenciando, chega-se à solução implícita
onde
Passo 7
Essa é a solução geral implícita da equação diferencial, definida de forma que cada passo usou teoria de equações homogêneas, substituição
, separação de variáveis e frações parciais.
Resposta
A solução geral implícita é
onde