Resolva a equação diferencial dada usando a substituição apropriada.

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a equação diferencial de primeira ordem
2x^2y,dx = (3x^3+y^3),dy
eq, usando substituição apropriada. Isso é uma equação homogênea (ambos os termos têm grau 3 em x e y), então vamos usar a substituição y = u x, de modo que dy = u,dx + x,du.

Passo 2

Escrevendo em forma diferencial exata, temos
2x^2y,dx - (3x^3+y^3),dy = 0
Como a equação é homogênea, fazemos y=ux e dy = u,dx + x,du, substituindo em cada termo.

Passo 3

Substituindo y=ux em 2x^2y,dx = (3x^3+y^3),dy
2x^2(u x),dx = [3x^3+(u x)^3](u,dx + x,du)
Fatorando x^3 e simplificando, chega-se a uma equação separável em x e u:
dxx = -3,ln|u| - tfrac23,ln(1+u^3) + C1?

Passo 4

Na última equação ajustamos os termos corretamente: a divisão leva a
dxx = -3ln|u| - tfrac23ln|1+u^3| + C?
(Esse passo serve só de ilustração; vamos fazer as integrais diretas no próximo passo.)

Passo 5

Integrando separadamente:
integraldxx = ln|x| + C1,
-integral1u,du -2integral1u(1+u^3),du
Para integral1u(1+u^3),du usamos frações parciais e achamos:
integral1u(1+u^3)du = ln|u| - tfrac13ln|1+u^3| + C2
Combinando tudo, obtemos
ln|x| = -3ln|u| + tfrac23ln|1+u^3| + C3

Passo 6

Voltando à variável original u = y/x e exponenciando, chega-se à solução implícita
y^9(x^3+y^3)^2 = C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 7

Essa é a solução geral implícita da equação diferencial, definida de forma que cada passo usou teoria de equações homogêneas, substituição y=ux, separação de variáveis e frações parciais.

Resposta

A solução geral implícita é
y^9(x^3+y^3)^2 = C,
onde C é constante arbitrária.

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