Determine se a série dada é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série é convergente ou divergente. A matéria que vamos usar aqui é sobre convergência de séries, e para resolver isso, vamos precisar entender o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil para esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série ser convergente ou divergente. Uma série é convergente se a soma dos seus termos chega a um número finito quando somamos infinitamente. Se não chega a um número finito, dizemos que é divergente.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para verificar a convergência dessa série. O teste diz o seguinte:
Para uma série , calculamos o limite .
Se L < 1, a série converge.
Se L > 1, a série diverge.
Se L = 1, o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos identificar an na nossa série. Aqui, temos:
an = n^2n!
Então, o próximo termo an+1 será:
an+1 = (n+1)^2(n+1)!
Passo 5
Agora, vamos calcular a razão an+1an:
an+1an = (n+1)^2(n+1)!n^2n! = (n+1)^2(n+1)! times n!n^2
Passo 6
Simplificando a expressão acima:
(n+1)^2(n+1)! times n!n^2 = (n+1)^2n^2 times n!(n+1)!
Sabemos que (n+1)! = (n+1) times n!, então:
n!(n+1)! = 1n+1
Substituindo isso na expressão:
Passo 7
Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando n tende ao infinito:
L = limn to infty n+1n^2
Podemos dividir numerador e denominador por n:
L = limn to infty 1 + 1nn = limn to infty ( 1n + 1n^2 )
Passo 8
Quando n tende ao infinito, tanto 1n quanto 1n^2 tendem a zero. Portanto:
L = 0
Passo 9
De acordo com o Teste da Razão, se L < 1, a série converge. Aqui, L = 0 que é menor que 1.