Determine se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^infty n^2n!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série sumn=1^infty n^2n! é convergente ou divergente. A matéria que vamos usar aqui é sobre convergência de séries, e para resolver isso, vamos precisar entender o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil para esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série ser convergente ou divergente. Uma série é convergente se a soma dos seus termos chega a um número finito quando somamos infinitamente. Se não chega a um número finito, dizemos que é divergente.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para verificar a convergência dessa série. O teste diz o seguinte:
Para uma série sum an, calculamos o limite L = limn to infty | an+1an |.
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos identificar an na nossa série. Aqui, temos:
an = n^2n!
Então, o próximo termo an+1 será:
an+1 = (n+1)^2(n+1)!

Passo 5

Agora, vamos calcular a razão an+1an:
an+1an = (n+1)^2(n+1)!n^2n! = (n+1)^2(n+1)! times n!n^2

Passo 6

Simplificando a expressão acima:
(n+1)^2(n+1)! times n!n^2 = (n+1)^2n^2 times n!(n+1)!
Sabemos que (n+1)! = (n+1) times n!, então:
n!(n+1)! = 1n+1
Substituindo isso na expressão:

Passo 7

Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando n tende ao infinito:
L = limn to infty n+1n^2
Podemos dividir numerador e denominador por n:
L = limn to infty 1 + 1nn = limn to infty ( 1n + 1n^2 )

Passo 8

Quando n tende ao infinito, tanto 1n quanto 1n^2 tendem a zero. Portanto:
L = 0

Passo 9

De acordo com o Teste da Razão, se L < 1, a série converge. Aqui, L = 0 que é menor que 1.

Resposta

A série sumn=1^infty n^2n! é convergente.

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