Determine se a série dada é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série ∑ₙ₌₁∞ converge ou diverge. O conteúdo aqui é séries infinitas e, em particular, séries geométricas, então vamos usar o teste e a fórmula de soma para séries geométricas.
Passo 2
A primeira coisa é reconhecer que a série é geométrica, pois cada termo pode ser escrito como . Aqui, o primeiro termo é o valor de n=1:
Passo 3
e a razão é o fator constante entre termos consecutivos, ou seja:
Passo 4
Para séries geométricas, sabemos da teoria que elas convergem se, e só se, |r| < 1. Vamos verificar:
Passo 5
Como |r| < 1, a série converge. Além disso, a soma de uma série geométrica convergente é dada por: