Determine se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-23)^n

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série ∑ₙ₌₁∞ l(-tfrac23r)^n converge ou diverge. O conteúdo aqui é séries infinitas e, em particular, séries geométricas, então vamos usar o teste e a fórmula de soma para séries geométricas.

Passo 2

A primeira coisa é reconhecer que a série é geométrica, pois cada termo pode ser escrito como a r^n-1. Aqui, o primeiro termo a é o valor de n=1:
a = l(-tfrac23r)^1 = -tfrac23,

Passo 3

e a razão r é o fator constante entre termos consecutivos, ou seja:
r = -tfrac23

Passo 4

Para séries geométricas, sabemos da teoria que elas convergem se, e só se, |r| < 1. Vamos verificar:
|r| = l| -tfrac23r| = tfrac23 < 1

Passo 5

Como |r| < 1, a série converge. Além disso, a soma de uma série geométrica convergente é dada por:
S = a1 - r

Passo 6

Substituindo a = -tfrac23 e r = -tfrac23, temos:
S = -tfrac231 - l(-tfrac23r) = -tfrac231 + tfrac23 = -tfrac23tfrac53 = -tfrac25

Passo 7

Portanto, a série converge e sua soma é -tfrac25.

Resposta

A série converge e seu valor é -tfrac25.

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