Determine se a série dada é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série alternada converge ou diverge. Isso envolve o estudo de convergência de séries infinitas, em especial usar o teste do termo geral e, se necessário, o teste da razão.
Passo 2
Para que uma série seja convergente, é condição necessária que conforme . Aqui temos . Vamos analisar o módulo do termo geral
Passo 3
Para estudar o comportamento de bn=dfracn!2^n+1, aplicamos o teste da razão:
bn+1bn=(n+1)!/2^n+2n!/2^n+1=n+12
Como tfracn+12>1 para todo n>=2, a sequência bn cresce sem limite, ou seja, bntoinfty quando ntoinfty.
Passo 4
Como bn=|an|toinfty, o termo geral an não tende a zero. Pelo teste de divergência (ou teste do termo geral), se annrightarrow0, então a série diverge.
Passo 5
Portanto, sem precisar de nenhum outro teste, concluímos que a série não satisfaz a condição necessária de convergência e, assim, diverge.
Resposta
A série diverge (não satisfaz o teste do termo geral).