Determine se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n n!2^n+1

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série alternada sumn=1^infty(-1)^n dfracn!2^n+1 converge ou diverge. Isso envolve o estudo de convergência de séries infinitas, em especial usar o teste do termo geral e, se necessário, o teste da razão.

Passo 2

Para que uma série sum an seja convergente, é condição necessária que anto 0 conforme ntoinfty. Aqui temos an=(-1)^ndfracn!2^n+1. Vamos analisar o módulo do termo geral
l|anr|=n!2^n+1

Passo 3

Para estudar o comportamento de bn=dfracn!2^n+1, aplicamos o teste da razão:
bn+1bn=(n+1)!/2^n+2n!/2^n+1=n+12
Como tfracn+12>1 para todo n>=2, a sequência bn cresce sem limite, ou seja, bntoinfty quando ntoinfty.

Passo 4

Como bn=|an|toinfty, o termo geral an não tende a zero. Pelo teste de divergência (ou teste do termo geral), se annrightarrow0, então a série diverge.

Passo 5

Portanto, sem precisar de nenhum outro teste, concluímos que a série não satisfaz a condição necessária de convergência e, assim, diverge.

Resposta

A série diverge (não satisfaz o teste do termo geral).

Exercícios relacionados