Escreva os quatro primeiros termos da série dada e determine se ela é convergente ou divergente. Se for convergente, obtenha sua soma.
sumn=1^infty(-1)^n+1 32^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever os quatro primeiros termos de uma série e descobrir se ela converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa achar a soma dela. A série que a gente vai trabalhar é:
sumn=1^infty(-1)^n+1 32^n
Aqui, estamos lidando com séries alternadas e geométricas. Para resolver, vamos precisar entender como identificar os termos e aplicar os critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os quatro primeiros termos da série. Isso significa que vamos calcular para $ n = 1, 2, 3, 4 $.
Para $ n = 1 $:
n = 1, 2, 3, 4
Para $ n = 2 $:
n = 1
Para $ n = 3 $:
(-1)^1+1 32^1 = (-1)^2 32 = 1 times 32 = 32
Para $ n = 4 $:
n = 2
Então, os quatro primeiros termos são:
(-1)^2+1 32^2 = (-1)^3 34 = -1 times 34 = -34

Passo 3

Agora, vamos verificar se a série converge ou diverge. A série é alternada porque os sinais dos termos mudam de positivo para negativo e vice-versa, por causa do (-1)^n+1.
Para séries alternadas, podemos usar o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos positivos diminuem e tendem a zero, a série converge.
Vamos analisar os termos:
  1. Diminuição: Observamos que 32^n diminui conforme $ n $ aumenta, já que $ 2^{n} $ cresce exponencialmente.
  2. Tendência a zero: O limite de n quando $ n $ tende ao infinito é zero.
Como ambas as condições são atendidas, a série converge.

Passo 4

Como a série é convergente, vamos calcular a soma dela. A série é uma série geométrica alternada, onde cada termo é multiplicado por uma razão comum.
A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
S = a11 - r
Onde:
  • $ a_1 $ é o primeiro termo da série.
  • $ r $ é a razão comum entre os termos.
No nosso caso:
  • $ a_1 = \frac{3}{2} $
  • $ r = -\frac{1}{2} $ (porque cada termo é multiplicado por a1 para chegar no próximo)
Aplicando na fórmula:
r

Resposta

Os quatro primeiros termos da série são 32, -34, 38, -316. A série é convergente e a sua soma é igual a 1.

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