Escreva os quatro primeiros termos da série dada e determine se ela é convergente ou divergente. Se for convergente, obtenha sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever os quatro primeiros termos de uma série e descobrir se ela converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa achar a soma dela. A série que a gente vai trabalhar é:
Aqui, estamos lidando com séries alternadas e geométricas. Para resolver, vamos precisar entender como identificar os termos e aplicar os critérios de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever os quatro primeiros termos da série. Isso significa que vamos calcular para $ n = 1, 2, 3, 4 $.
Para $ n = 1 $:
Para $ n = 2 $:
Para $ n = 3 $:
Para $ n = 4 $:
Então, os quatro primeiros termos são:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a série converge ou diverge. A série é alternada porque os sinais dos termos mudam de positivo para negativo e vice-versa, por causa do
.
Para séries alternadas, podemos usar o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos positivos diminuem e tendem a zero, a série converge.
Vamos analisar os termos:
- Diminuição: Observamos que
diminui conforme $ n $ aumenta, já que $ 2^{n} $ cresce exponencialmente. - Tendência a zero: O limite de
quando $ n $ tende ao infinito é zero.
Como ambas as condições são atendidas, a série converge.
Passo 4
Como a série é convergente, vamos calcular a soma dela. A série é uma série geométrica alternada, onde cada termo é multiplicado por uma razão comum.
A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
Onde:
- $ a_1 $ é o primeiro termo da série.
- $ r $ é a razão comum entre os termos.
No nosso caso:
- $ a_1 = \frac{3}{2} $
- $ r = -\frac{1}{2} $ (porque cada termo é multiplicado por
para chegar no próximo)
Aplicando na fórmula:
Resposta
Os quatro primeiros termos da série são
,
,
,
. A série é convergente e a sua soma é igual a 1.