Determine se a série dada é convergente ou divergente.
(e) sumn=1^infty(-1)^n+1 n^2n^3+2

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série alternada sumn=1^infty(-1)^n+1n^2n^3+2 converge ou diverge; vamos usar o critério de Leibniz e também checar a convergência absoluta.

Passo 2

Definimos an=dfracn^2n^3+2>0. Note que
limntoinftyan=limntoinftyn^2n^3+2=1n|ntoinfty=0,
agora precisamos verificar que (an) é decrescente a partir de algum n.

Passo 3

Considere a função f(x)=dfracx^2x^3+2. Usando regra do quociente:
f'(x)=2x(x^3+2)-3x^4(x^3+2)^2=-x^4+4x(x^3+2)^2=x(-x^3+4)(x^3+2)^2 Para x>=2 temos -x^3+4<=0, logo f'(x)<=0. Assim an=f(n) é decrescente para n>=2.

Passo 4

Pelo critério de Leibniz, como an>0, an decrescente e lim an=0, a série alternada converge.

Passo 5

Para verificar convergência absoluta, analisamos sum an. Para grandes n,
an=n^2n^3+2sim1n, e como sum1/n diverge (série harmônica), temos que sum an diverge por comparação.

Passo 6

Portanto, a série original converge, mas não absolutamente, isto é, converge condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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