Determine se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n+1 1n(n+2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir se a série infinita sumn=1^infty(-1)^n+1 1n(n+2) converge ou diverge. Isso tá no assunto de séries infinitas, e pra resolver vamos usar o Teste da Série Alternada e uns truques de simplificação de frações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série alternada. Quando a série tem termos que mudam de sinal alternadamente, como nosso (-1)^n+1, ela é chamada de alternada. O Teste da Série Alternada nos ajuda a verificar a convergência dessas séries.

Passo 3

O teste diz que se tivermos uma série da forma sum (-1)^n an, com an > 0, e se an for uma sequência que diminui e tende a zero, então a série converge. Então, vamos identificar nosso an:
an = 1n(n+2)

Passo 4

Precisamos verificar se an é uma sequência decrescente e se tende a zero quando n vai para o infinito.
Primeiro, vamos ver o limite:
limn to infty 1n(n+2) = 0
Então, essa parte tá ok.

Passo 5

Agora, vamos ver se a sequência está realmente diminuindo. Observando que, conforme n aumenta, o denominador n(n+2) aumenta, então an diminui. Portanto, an é decrescente.

Passo 6

Como as duas condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas ( an tende a zero e é decrescente), podemos concluir que a série é convergente.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n+1 1n(n+2) é convergente.

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