Determine se a série dada é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir se a série infinita
converge ou diverge. Isso tá no assunto de séries infinitas, e pra resolver vamos usar o Teste da Série Alternada e uns truques de simplificação de frações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série alternada. Quando a série tem termos que mudam de sinal alternadamente, como nosso
, ela é chamada de alternada. O Teste da Série Alternada nos ajuda a verificar a convergência dessas séries.
Passo 3
O teste diz que se tivermos uma série da forma
, com
, e se
for uma sequência que diminui e tende a zero, então a série converge. Então, vamos identificar nosso
:
Passo 4
Precisamos verificar se
é uma sequência decrescente e se tende a zero quando
vai para o infinito.
Primeiro, vamos ver o limite:
Então, essa parte tá ok.
Passo 5
Agora, vamos ver se a sequência está realmente diminuindo. Observando que, conforme
aumenta, o denominador
aumenta, então
diminui. Portanto,
é decrescente.
Passo 6
Como as duas condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas (
tende a zero e é decrescente), podemos concluir que a série é convergente.
Resposta
A série
é convergente.