Determine se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n 3n^2+1

Passo 1

O exercício pede para a gente determinar se a série sumn=1^infty(-1)^n 3n^2+1 é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é séries numéricas, mais especificamente o critério de Leibniz para séries alternantes e o teste de convergência absoluta via comparação com p-série.

Passo 2

Primeiro, checamos o critério de Leibniz para séries alternantes. O termo em módulo é an = 3n^2+1. Note que an>0. Como n^2+1 cresce quando n aumenta, a sequência an é decrescente, isto é, an+1. Além disso temos limntoinftyan = 0, pois n^2+1toinfty. Portanto, pela condição de Leibniz, a série alternante converge.

Passo 3

Agora, vamos ver se ela converge absolutamente. Consideramos a série dos módulos: sumn=1^infty |(-1)^n 3n^2+1| = sumn=1^infty 3n^2+1 Como para todo n vale n^2+1 > n^2, temos 3n^2+1 < 3n^2 Sabemos que sum 3/n^2 = 3sum 1/n^2 é uma p-série com expoente p=2>1, logo converge. Assim, pelo teste de comparação, sum 3/(n^2+1) converge e a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente e, consequentemente, é convergente.

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