Determine se a série dada é convergente ou divergente.
Passo 1
O exercício pede para a gente determinar se a série é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é séries numéricas, mais especificamente o critério de Leibniz para séries alternantes e o teste de convergência absoluta via comparação com p-série.
Passo 2
Primeiro, checamos o critério de Leibniz para séries alternantes. O termo em módulo é . Note que . Como cresce quando aumenta, a sequência é decrescente, isto é, . Além disso temos , pois . Portanto, pela condição de Leibniz, a série alternante converge.
Passo 3
Agora, vamos ver se ela converge absolutamente. Consideramos a série dos módulos: Como para todo n vale n^2+1 > n^2, temos 3n^2+1 < 3n^2 Sabemos que sum 3/n^2 = 3sum 1/n^2 é uma p-série com expoente p=2>1, logo converge. Assim, pelo teste de comparação, sum 3/(n^2+1) converge e a série original converge absolutamente.
Resposta
A série converge absolutamente e, consequentemente, é convergente.