Inverta corretamente a ordem de integração:
integral0^1[integralx^x^2 f(x, y) d y] d x

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral iterada
integral0^1l(integralx^x^2f(x,y),dyr)dx
O assunto aqui é troca de ordem em integrais duplas e vamos precisar identificar a região de integração D no plano (x,y).

Passo 2

Primeiro note que, para 0<= x<=1, vale x^2<= x. Então a integral interna de y=x até y=x^2 pode ser vista como
integralx^x^2f(x,y),dy=-integralx^2^xf(x,y),dy
Isso mostra que estamos integrando sobre a região
D=(x,y):0<= x<=1,x^2<= y<= x

Passo 3

Agora vamos descrever D trocando a ordem: primeiro identificamos os valores mínimo e máximo de y em D. Como em D temos x^2<= y<= x e x vai de 0 a 1, vemos que y varia de 0 até 1.
Para cada yin[0,1], as desigualdades x^2<= y e y<= x viram
x<=raizye x>= y
Como 0<= y<=1 implica y<=raizy, concluímos que, dado y, a variável x vai de x=y até x=raizy.

Passo 4

Portanto, a integral dupla sobre D fica
integral duplaDf(x,y),dA=integraly=0^1l(integralx=y^raizyf(x,y),dxr)dy
Mas lembrando que a integral original tinha sinal “invertido” na parte em y, temos
integral0^1l(integralx^x^2f(x,y),dyr)dx=-integral duplaDf(x,y),dA
Logo, trocando a ordem completa, obtemos
-integral0^1l(integraly^raizyf(x,y),dxr)dy

Resposta

-\int_{0}{1}\left[\int_{y}{\sqrt{y}}f(x,y),dx\right]dy

Exercícios relacionados