Determine se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n+1 12 n

Passo 1

Vamos revisar o enunciado: precisamos estudar a série sumn=1^infty(-1)^n+112n. O conteúdo aqui é convergência de séries alternantes (critério de Leibniz) e depois testar convergência absoluta.

Passo 2

Identificamos o termo geral positivo associado ao sinal alternante: an=12n. Para usar o critério de Leibniz, verificamos duas coisas: (1) an>0 para todo n, (2) an+1<= an (monotonia decrescente), e (3) limntoinftyan=0. Claramente an+1=1/[2(n+1)]<1/(2n)=an e limntoinfty1/(2n)=0.

Passo 3

Pelo critério de Leibniz, uma série alternada sum(-1)^n+1an com an decrescente e tendendo a zero converge. Logo sum(-1)^n+1dfrac12n converge.

Passo 4

Agora avaliamos a convergência absoluta: consideramos a série dos valores absolutos
sumn=1^inftyl|(-1)^n+112nr|=sumn=1^infty12n=12sumn=1^infty1n,
mas sumn=1^infty1/n é a série harmônica que diverge. Multiplicar por 1/2 não muda o comportamento de divergência.

Passo 5

Concluímos que a série converge pelo critério de Leibniz, mas não converge absolutamente.

Resposta

A série converge condicionalmente (pelo critério de Leibniz) e diverge em termos de convergência absoluta.

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