Determine se a série dada é convergente ou divergente.
Passo 1
Vamos revisar o enunciado: precisamos estudar a série
. O conteúdo aqui é convergência de séries alternantes (critério de Leibniz) e depois testar convergência absoluta.
Passo 2
Identificamos o termo geral positivo associado ao sinal alternante:
. Para usar o critério de Leibniz, verificamos duas coisas: (1)
para todo
, (2)
(monotonia decrescente), e (3)
. Claramente
e
.
Passo 3
Pelo critério de Leibniz, uma série alternada
com
decrescente e tendendo a zero converge. Logo
converge.
Passo 4
Agora avaliamos a convergência absoluta: consideramos a série dos valores absolutos
mas
Passo 5
Concluímos que a série converge pelo critério de Leibniz, mas não converge absolutamente.
Resposta
A série converge condicionalmente (pelo critério de Leibniz) e diverge em termos de convergência absoluta.