Seja R o retângulo 1 <= x <= 2,0 <= y <= 1. Calcule integralegral duplaR f(x, y) d x d y, sendo f(x, y) igual a:
1x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral dupla de f(x,y)=1/(x^2+y^2) sobre o retângulo R:,1<= x<=2,,0<= y<=1. O conteúdo é integração dupla via fórmula de integraldya^2+y^2=1aarctan(y/a), e vamos precisar também de integração por partes para tratar a integral que sobra em x.

Passo 2

Começamos trocando a ordem de integração:
integral duplaRdx,dyx^2+y^2=integralx=1^2integraly=0^1dyx^2+y^2,dx

Passo 3

Para cada x fixo, fazemos
integral0^1dyx^2+y^2=1xl[arctanl(y/xr)r]0^1=1xarctanl(tfrac1xr)

Passo 4

Assim
I=integral duplaRdx,dyx^2+y^2=integral1^21xarctanl(tfrac1xr),dx

Passo 5

Agora aplicamos integração por partes em integral1^21xarctan(1/x),dx. Seja
u=arctanl(tfrac1xr), dv=dxx
Então
du=-dxx^2+1, v=ln x

Passo 6

Logo
I=l[ln x,arctanl(tfrac1xr)r]1^2+integral1^2ln xx^2+1,dx

Passo 7

Calculando o termo na fronteira: ln1=0 e sobra apenas
I=ln2;arctanl(tfrac12r)+integral1^2ln xx^2+1,dx

Resposta

I=ln2;arctanl(tfrac12r)+integral1^2ln xx^2+1,dxapprox0.431.

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