Determine se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, obtenha a sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{2^{n-1}}{3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2^{n-1}}{3^{n}}
é convergente ou divergente. Se for convergente, devo também calcular a soma. Informações dadas: a série é explícita com termo geral \displaystyle (-1)^{n+1}\frac{2^{n-1}}{3^{n}} para n=1,2,3,\dots. Nada mais é fornecido.

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral para reconhecer um padrão. Começo por escrever 2^{n-1}=\dfrac{2^{n}}{2}. Assim
(-1)^{n+1}\frac{2^{n-1}}{3^{n}} = (-1)^{n+1}\frac{2^{n}}{2\cdot 3^{n}} = \frac{1}{2}\,(-1)^{n+1}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}.
Agora uso (-1)^{n+1} = -(-1)^n e (-1)^n\left(\frac{2}{3}\right)^n = \left(-\frac{2}{3}\right)^n. Portanto
(-1)^{n+1}\frac{2^{n-1}}{3^{n}} = -\frac{1}{2}\left(-\frac{2}{3}\right)^{n}.

Passo 3

Explico o conceito que vamos usar: uma série geométrica tem a forma \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} r^{n}, onde r é a razão. Ela converge se, e somente se, |r|<1. Quando |r|<1, a soma é dada por
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n} = \frac{r}{1-r}.
Aqui r é a razão comum (cada termo obtido multiplicando o anterior por r). Essa fórmula vem do limite da soma parcial finita e é um resultado padrão que podemos usar.

Passo 4

Comparando com a forma geométrica, vejo que a minha série é uma constante multiplicada por uma série geométrica:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2^{n-1}}{3^{n}} = -\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{2}{3}\right)^{n}.
Aqui a razão é r = -\dfrac{2}{3}. Calculo |r| = \left|-\dfrac{2}{3}\right| = \dfrac{2}{3}. Como \dfrac{2}{3}<1, a série geométrica \sum_{n=1}^{\infty}\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{n} converge. Pela propriedade linear da soma de séries, multiplicar por uma constante (aqui -\tfrac{1}{2}) preserva a convergência. Logo a série original converge.

Passo 5

Agora calculo a soma usando a fórmula da série geométrica. Com r=-\dfrac{2}{3},
\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{2}{3}\right)^{n}=\frac{r}{1-r}=\frac{-\dfrac{2}{3}}{1-(-\dfrac{2}{3})}=\frac{-\dfrac{2}{3}}{1+\dfrac{2}{3}}.
Calculo o denominador: 1+\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{3}. Portanto
\frac{-\dfrac{2}{3}}{\dfrac{5}{3}} = -\frac{2}{5}.

Passo 6

Multiplico pelo fator -\dfrac{1}{2} que estava fora da soma:
-\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{2}{5}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5} = \frac{1}{5}.
Aqui simplifiquei cancelando o 2 no numerador e denominador.

Passo 7

Conclusão didática curta: reconhecemos a série como uma série geométrica (após manipular algebricamente o termo geral), verificamos a condição de convergência |r|<1 e aplicamos a fórmula da soma da série geométrica. As operações algébricas foram detalhadas para que você possa replicar o processo em prova.

Resposta

\dfrac{1}{5}

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