é convergente ou divergente. Se for convergente, devo também calcular a soma. Informações dadas: a série é explícita com termo geral \displaystyle (-1)^{n+1}\frac{2^{n-1}}{3^{n}} para n=1,2,3,\dots. Nada mais é fornecido.
Passo 2
Vamos simplificar o termo geral para reconhecer um padrão. Começo por escrever 2^{n-1}=\dfrac{2^{n}}{2}. Assim
Explico o conceito que vamos usar: uma série geométrica tem a forma \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} r^{n}, onde r é a razão. Ela converge se, e somente se, |r|<1. Quando |r|<1, a soma é dada por
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n} = \frac{r}{1-r}.
Aqui r é a razão comum (cada termo obtido multiplicando o anterior por r). Essa fórmula vem do limite da soma parcial finita e é um resultado padrão que podemos usar.
Passo 4
Comparando com a forma geométrica, vejo que a minha série é uma constante multiplicada por uma série geométrica:
Aqui a razão é r = -\dfrac{2}{3}. Calculo |r| = \left|-\dfrac{2}{3}\right| = \dfrac{2}{3}. Como \dfrac{2}{3}<1, a série geométrica \sum_{n=1}^{\infty}\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{n} converge. Pela propriedade linear da soma de séries, multiplicar por uma constante (aqui -\tfrac{1}{2}) preserva a convergência. Logo a série original converge.
Passo 5
Agora calculo a soma usando a fórmula da série geométrica. Com r=-\dfrac{2}{3},
Aqui simplifiquei cancelando o 2 no numerador e denominador.
Passo 7
Conclusão didática curta: reconhecemos a série como uma série geométrica (após manipular algebricamente o termo geral), verificamos a condição de convergência |r|<1 e aplicamos a fórmula da soma da série geométrica. As operações algébricas foram detalhadas para que você possa replicar o processo em prova.