Determine a série de Fourier de f no intervalo indicado.
f(x)=\left\{\begin{array}{lr}0, & -\pi<x<0 \\\ e^{x}-1, & 0 \leq x<\pi\end{array}\right.

Passo 1

Temos a função
f(x)= \begin{cases} 0,& -\pi<x<0,\\\ e^{x}-1,&0\le x<\pi, \end{cases}
e queremos sua série de Fourier no intervalo (-\pi,\pi) (extensão periódica de período 2\pi). Para isso usamos as fórmulas padrões
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx, \quad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx, \quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.
Como f(x)=0 em (-\pi,0), os três integrais valem só de 0 a \pi com f(x)=e^x-1.

Passo 2

Calculemos
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\bigl(e^x-1\bigr)\,dx =\frac{1}{\pi}\Bigl[\int_{0}^{\pi}e^x\,dx-\int_{0}^{\pi}1\,dx\Bigr].
Como
\int_{0}^{\pi}e^x\,dx=e^{\pi}-1, \quad \int_{0}^{\pi}1\,dx=\pi,
vem
a_0=\frac{1}{\pi}\bigl((e^{\pi}-1)-\pi\bigr) =\frac{e^{\pi}-\pi-1}{\pi}.

Passo 3

Agora
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}(e^x-1)\cos(nx)\,dx =\frac{1}{\pi}\Bigl[\int_{0}^{\pi}e^x\cos(nx)\,dx-\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx\Bigr].
Usando
\int e^x\cos(nx)\,dx =\frac{e^x\bigl(\cos(nx)+n\sin(nx)\bigr)}{1+n^2},
avaliamos de 0 a \pi e obtemos
\int_{0}^{\pi}e^x\cos(nx)\,dx =\frac{e^{\pi}(-1)^n-1}{1+n^2}.
Como \int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx=0 para todo n\ge1, segue
a_n=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{e^{\pi}(-1)^n-1}{1+n^2} =\frac{e^{\pi}(-1)^n-1}{\pi\,(1+n^2)}.

Passo 4

De modo parecido,
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}(e^x-1)\sin(nx)\,dx =\frac{1}{\pi}\Bigl[\int_{0}^{\pi}e^x\sin(nx)\,dx-\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx\Bigr].
Como
\int e^x\sin(nx)\,dx =\frac{e^x\bigl(\sin(nx)-n\cos(nx)\bigr)}{1+n^2},
avaliando de 0 a \pi
\int_{0}^{\pi}e^x\sin(nx)\,dx =\frac{n\bigl(1-e^{\pi}(-1)^n\bigr)}{1+n^2},
enquanto
\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx=\frac{1-(-1)^n}{n}.
Portanto
b_n =\frac{1}{\pi}\Bigl[\frac{n\bigl(1-e^{\pi}(-1)^n\bigr)}{1+n^2} -\frac{1-(-1)^n}{n}\Bigr].

Passo 5

Reunindo tudo, a série de Fourier de f em (-\pi,\pi) é
f(x)\sim \frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\Bigr]
com
a_0=\frac{e^{\pi}-\pi-1}{\pi}, \quad a_n=\frac{e^{\pi}(-1)^n-1}{\pi\,(1+n^2)},
b_n =\frac{1}{\pi}\Bigl[\frac{n\bigl(1-e^{\pi}(-1)^n\bigr)}{1+n^2} -\frac{1-(-1)^n}{n}\Bigr].

Resposta

\boxed{ f(x)=\frac{e^{\pi}-\pi-1}{2\pi} +\sum_{n=1}^{\infty}\left[ \frac{e^{\pi}(-1)^n-1}{\pi\,(1+n^2)}\cos(nx) +\frac{1}{\pi}\Bigl(\frac{n(1-e^{\pi}(-1)^n)}{1+n^2}-\frac{1-(-1)^n}{n}\Bigr)\sin(nx) \right]. }

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