Determine a série de Fourier de f no intervalo indicado.
f(x)=\left\{\begin{array}{rr}1, & -1<x<0 \\\ x, & 0 \leq x<1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier da função periódica f\) de período \(2\) definida em \([-1,1]\) por \[f(x)= \begin{cases} 1, & -1<x<0,\\\ x, & 0\le x<1. \end{cases}
O conteúdo é Série de Fourier em [-L,L]\] com \(L=1. Vamos usar as fórmulas
a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\,dx,\quad a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\bigl(n\pi x/L\bigr)\,dx,\quad b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\bigl(n\pi x/L\bigr)\,dx
e, em seguida, montar
f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[a_n\cos\!(n\pi x)+b_n\sin\!(n\pi x)\Bigr].

Passo 2

Cálculo de a_0. Com L=1,
a_0=\int_{-1}^{1}f(x)\,dx =\int_{-1}^{0}1\,dx+\int_{0}^{1}x\,dx =\bigl[ x\bigr]_{-1}^{0}+\bigl[\tfrac{x^2}{2}\bigr]_{0}^{1} =1+\tfrac12=\tfrac32.

Passo 3

Cálculo de a_n. Para n\ge1,
a_n =\int_{-1}^{0}\cos(n\pi x)\,dx+\int_{0}^{1}x\cos(n\pi x)\,dx.
O primeiro integral vale zero pois
\int_{-1}^{0}\cos(n\pi x)\,dx =\frac{\sin(n\pi x)}{n\pi}\Big|_{-1}^{0} =\frac{0-\bigl(-\sin(n\pi)\bigr)}{n\pi} =\frac{\sin(n\pi)}{n\pi}=0.
No segundo usamos integração por partes:
\int_{0}^{1}x\cos(n\pi x)\,dx =\bigl[\tfrac{x\sin(n\pi x)}{n\pi}\bigr]_{0}^{1} -\int_{0}^{1}\tfrac{\sin(n\pi x)}{n\pi}\,dx =\frac{(-1)^n-1}{n^2\pi^2}.
Logo
a_n=\frac{(-1)^n-1}{n^2\pi^2}.

Passo 4

Cálculo de b_n. Para n\ge1,
b_n =\int_{-1}^{0}\sin(n\pi x)\,dx+\int_{0}^{1}x\sin(n\pi x)\,dx.
O primeiro integral dá
\int_{-1}^{0}\sin(n\pi x)\,dx =-\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi}\Big|_{-1}^{0} =\frac{(-1)^n-1}{n\pi}.
No segundo, por partes,
\int_{0}^{1}x\sin(n\pi x)\,dx =-\frac{x\cos(n\pi x)}{n\pi}\Big|_{0}^{1} +\int_{0}^{1}\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi}\,dx =-\frac{(-1)^n}{n\pi}.
Somando, obtém-se
b_n =\frac{(-1)^n-1}{n\pi}-\frac{(-1)^n}{n\pi} =-\frac{1}{n\pi}.

Passo 5

Montagem da série. Temos
\frac{a_0}{2}=\frac34,\quad a_n=\frac{(-1)^n-1}{n^2\pi^2},\quad b_n=-\frac{1}{n\pi}.
Logo a série de Fourier em [-1,1] é
f(x)\sim\frac{3}{4} +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[\frac{(-1)^n-1}{n^2\pi^2}\cos(n\pi x) -\frac{1}{n\pi}\sin(n\pi x)\Bigr].

Resposta

f(x)\sim\frac{3}{4} +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[\frac{(-1)^n-1}{n^2\pi^2}\cos(n\pi x) -\frac{1}{n\pi}\sin(n\pi x)\Bigr].

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