Determine a série de Fourier de f no intervalo indicado.
f(x)=\left\{\begin{array}{lr}2+x, & -2<x<0 \\\\ 2, & 0 \leq x<2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de f de período T=4 no intervalo -2<x<2. O conteúdo é séries de Fourier em [-L,L] com L=2. Vamos usar as fórmulas
a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\,dx,\quad a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr)\,dx,\quad b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr)\,dx
e escrever
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(a_n\cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)+b_n\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\Bigr).

Passo 2

Para a_0 calculamos
\int_{-2}^{2}f(x)\,dx =\int_{-2}^{0}(2+x)\,dx+\int_{0}^{2}2\,dx =(4-2)+4=6.
Como a_0=\frac{1}{L}\int_{-2}^{2}f(x)\,dx=\frac{1}{2}\cdot6=3, o termo constante é \frac{a_0}{2}=\frac{3}{2}.

Passo 3

Para a_n separamos
a_n=\frac{1}{2}\Bigl(I_1+I_2\Bigr),
com \alpha=\frac{n\pi}{2},
I_1=\int_{-2}^{0}(2+x)\cos(\alpha x)\,dx =\frac{1-\cos(2\alpha)}{\alpha^2},
I_2=\int_{0}^{2}2\cos(\alpha x)\,dx =\frac{2}{\alpha}\sin(2\alpha).
Como \cos(2\alpha)=\cos(n\pi)=(-1)^n e \sin(2\alpha)=0, resulta
a_n=\frac{1}{2}\,\frac{1-(-1)^n}{\alpha^2} =\frac{2\bigl(1-(-1)^n\bigr)}{n^2\pi^2}.
Isto dá a_n=0 para n par e a_n=\tfrac{4}{n^2\pi^2} para n ímpar.

Passo 4

Para b_n escrevemos
b_n=\frac{1}{2}\Bigl(J_1+J_2\Bigr),
com
J_1=\int_{-2}^{0}(2+x)\sin(\alpha x)\,dx =-\frac{2}{\alpha}+\frac{\sin(2\alpha)}{\alpha^2},
J_2=\int_{0}^{2}2\sin(\alpha x)\,dx =-\frac{2}{\alpha}\cos(2\alpha)+\frac{2}{\alpha}.
Como \sin(2\alpha)=0 e \cos(2\alpha)=(-1)^n, obtemos
b_n=\frac{1}{2}\Bigl(-\frac{2}{\alpha}(-1)^n\Bigr) =\frac{(-1)^{\,n+1}}{\alpha} =\frac{2(-1)^{\,n+1}}{n\pi}.

Passo 5

Reunindo tudo com L=2 e \alpha=n\pi/2, a série de Fourier fica
f(x)=\frac{3}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[ \frac{2\bigl(1-(-1)^n\bigr)}{n^2\pi^2}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr) +\frac{2(-1)^{\,n+1}}{n\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr) \Bigr].

Resposta

f(x)=\frac{3}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[ \frac{2\bigl(1-(-1)^n\bigr)}{n^2\pi^2}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr) +\frac{2(-1)^{\,n+1}}{n\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr) \Bigr].

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