Determine a série de Fourier de f no intervalo indicado.
f(x)=\left\{\begin{array}{rr}-1, & -\pi<x<0 \\\\ 2, & 0 \leq x<\pi\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de f\) definida em \(-\pi < x < \pi\) por \[f(x)= \begin{cases} -1, & -\pi<x<0,\\\\ 2, & 0\le x<\pi. \end{cases}
O conteúdo é série trigonométrica de período 2\pi\]. Vamos calcular os coeficientes \(a_0, a_n e b_n.

Passo 2

Cálculo de a_0 por
a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx = \frac{1}{\pi}\Bigl(\int_{-\pi}^0(-1)\,dx + \int_{0}^{\pi}2\,dx\Bigr).
Aqui \int_{-\pi}^0(-1)\,dx=-\pi e \int_{0}^{\pi}2\,dx=2\pi, logo
a_0 = \frac{-\pi + 2\pi}{\pi} = 1.
O termo constante na série é a_0/2 = 1/2.

Passo 3

Cálculo dos coeficientes a_n de cosseno:
a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx = \frac{1}{\pi}\Bigl(\int_{-\pi}^0(-1)\cos(nx)\,dx + \int_{0}^{\pi}2\cos(nx)\,dx\Bigr).
Cada integral resulta em termos \sin(n x) avaliados em múltiplos de \pi, que são todos zero. Portanto
a_n = 0\quad(\forall n\ge1).

Passo 4

Cálculo dos coeficientes b_n de seno:
b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx = \frac{1}{\pi}\Bigl(\int_{-\pi}^0(-1)\sin(nx)\,dx + \int_{0}^{\pi}2\sin(nx)\,dx\Bigr).
Usando \displaystyle\int\sin(nx)\,dx=-\frac{1}{n}\cos(nx) e \cos(n\pi)=(-1)^n, obtém-se
b_n = \frac{3}{\pi n}\bigl(1 - (-1)^n\bigr),
isto é,
b_n = \begin{cases} \displaystyle \frac{6}{\pi n}, & n\text{ ímpar},\\\\ 0, & n\text{ par}. \end{cases}í

Passo 5

Como a_n=0 para todo n, a série de Fourier fica
f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx) = \frac12 + \sum_{k=0}^{\infty}\frac{6}{\pi(2k+1)}\sin\bigl((2k+1)x\bigr).

Resposta

f(x) = \frac12 + \frac{6}{\pi}\sum_{k=0}^\infty \frac{\sin\bigl((2k+1)x\bigr)}{2k+1}.

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