Determine a série de Fourier de f no intervalo indicado:
f(x)=\left\{\begin{array}{rr}0, & -\pi<x<0 \\\ x^{2}, & 0 \leq x<\pi\end{array}\right.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos a série de Fourier da função
f(x)=\begin{cases} 0, & -\pi<x<0,\\\ x^2, & 0\le x<\pi, \end{cases}
considerada periódica de período 2\pi. Para isso vamos calcular os coeficientes a_0, a_n e b_n.

Passo 2

A série de Fourier de f no intervalo (-\pi,\pi) é
f(x) = \frac{a_0}{2} \;+\;\sum_{n=1}^\infty \bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr),
onde
a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,\quad a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx,\quad b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.

Passo 3

Cálculo de a_0. Como f(x)=0 em [-\,\pi,0),
a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\,dx = \frac{1}{\pi}\Bigl[\tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{0}^{\pi} = \frac{\pi^2}{3}.
Então
\frac{a_0}{2} = \frac{\pi^2}{6}.

Passo 4

Cálculo de a_n.
a_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\cos(nx)\,dx.
Fazendo integração por partes duas vezes obtém-se
\int_{0}^{\pi}x^2\cos(nx)\,dx = \frac{2\pi(-1)^n}{n^2},
logo
a_n = \frac{2(-1)^n}{n^2}.

Passo 5

Cálculo de b_n.
b_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\sin(nx)\,dx.
Integrações por partes sucessivas levam a
\int_{0}^{\pi}x^2\sin(nx)\,dx = -\frac{\pi^2(-1)^n}{n} \;+\;\frac{2\bigl((-1)^n-1\bigr)}{n^3}.
Dividindo por \pi,
b_n = -\frac{\pi(-1)^n}{n} \;+\;\frac{2\bigl((-1)^n-1\bigr)}{\pi\,n^3}.

Passo 6

Montando a série completa, para -\pi<x<\pi:
f(x) = \frac{\pi^2}{6} +\sum_{n=1}^\infty\!\left[ \frac{2(-1)^n}{n^2}\cos(nx) +\Bigl(-\frac{\pi(-1)^n}{n}+\frac{2\bigl((-1)^n-1\bigr)}{\pi\,n^3}\Bigr)\sin(nx) \right].

Resposta

\boxed{ f(x)=\frac{\pi^2}{6} +\sum_{n=1}^\infty\!\left[ \frac{2(-1)^n}{n^2}\cos(nx) +\Bigl(-\frac{\pi(-1)^n}{n}+\frac{2\bigl((-1)^n-1\bigr)}{\pi\,n^3}\Bigr)\sin(nx) \right] .}

Exercícios relacionados