Mostre que as funções são ortogonais no intervalo:
f_{1}(x)=x \quad f_{2}(x)=x^{2} \quad[-2,2]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções
f_{1}(x)=x e f_{2}(x)=x^{2}
são ortogonais no intervalo [-2,2]. O conteúdo é ortogonalidade de funções, que envolve o produto interno delas.

Passo 2

Definimos o produto interno entre f_{1} e f_{2} como
\langle f_{1},f_{2}\rangle = \int_{-2}^{2} f_{1}(x)\,f_{2}(x)\,dx.
Duas funções são ortogonais se e somente se \langle f_{1},f_{2}\rangle=0.

Passo 3

Calculamos
\langle f_{1},f_{2}\rangle =\int_{-2}^{2} x\cdot x^{2}\,dx =\int_{-2}^{2} x^{3}\,dx.
Como x^{3} é uma função ímpar, vale a propriedade
\int_{-a}^{a}x^{3}\,dx = 0.
Alternativamente, integrando diretamente:
\int_{-2}^{2}x^{3}\,dx =\Bigl[\tfrac{x^{4}}{4}\Bigr]_{-2}^{2} =\tfrac{2^{4}}{4}-\tfrac{(-2)^{4}}{4} =\tfrac{16}{4}-\tfrac{16}{4} =0.

Passo 4

Como \langle f_{1},f_{2}\rangle=0, concluímos que f_{1} e f_{2} são ortogonais em [-2,2].

Resposta

As funções f_{1}(x)=x e f_{2}(x)=x^{2} são ortogonais em [-2,2] pois
\int_{-2}^{2}x\,x^{2}\,dx =\int_{-2}^{2}x^{3}\,dx =0.

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