Determine a série de Fourier de f no intervalo indicado:
f(x)=\left\{\begin{array}{rr}\pi^{2}, & -\pi<x<0 \\\ \pi^{2}-x^{2}, & 0 \leq x<\pi\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função periódica de período 2\pi dada em -\pi<x<\pi por
f(x)= \begin{cases} \pi^{2},& -\pi<x<0,\\\ \pi^{2}-x^{2},&0\le x<\pi. \end{cases}
Queremos sua série de Fourier na forma
f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\bigr),
onde
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx, \quad a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx, \quad b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.

Passo 2

Calcular a_{0}.
\int_{-\pi}^{0}\pi^{2}\,dx=\pi^{2}\cdot\pi=\pi^{3}, \quad \int_{0}^{\pi}(\pi^{2}-x^{2})\,dx =\pi^{2}\pi-\frac{\pi^{3}}{3} =\frac{2\pi^{3}}{3},
logo
a_{0} =\frac{1}{\pi}\Bigl(\pi^{3}+\frac{2\pi^{3}}{3}\Bigr) =\frac{5\pi^{2}}{3},
e o termo constante é
\frac{a_{0}}{2}=\frac{5\pi^{2}}{6}.

Passo 3

Calcular a_{n}. Como \int_{-\pi}^{0}\pi^{2}\cos(nx)\,dx=0, resta
a_{n} =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}(\pi^{2}-x^{2})\cos(nx)\,dx =-\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^{2}\cos(nx)\,dx.
Fazendo integração por partes duas vezes chega-se a
\int_{0}^{\pi}x^{2}\cos(nx)\,dx =\frac{2\pi}{n^{2}}(-1)^{n},
portanto
a_{n} =-\frac{1}{\pi}\cdot\frac{2\pi}{n^{2}}(-1)^{n} =\frac{2(-1)^{n+1}}{n^{2}}.

Passo 4

Calcular b_{n}. Separando de -\pi a 0 e de 0 a \pi e fazendo duas integrações por partes, obtém-se
b_{n} =\frac{1}{\pi}\Bigl[(-1)^{n}\frac{\pi}{n}+\frac{2}{\pi n^{3}}\bigl(1-(-1)^{n}\bigr)\Bigr].

Passo 5

Reunindo tudo, a série de Fourier de f é
f(x) =\frac{5\pi^{2}}{6} +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(-1)^{n+1}}{n^{2}}\cos(nx) +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[(-1)^{n}\frac{\pi}{n} +\frac{2}{\pi n^{3}}\bigl(1-(-1)^{n}\bigr)\Bigr]\sin(nx).

Resposta

\boxed{% f(x) =\frac{5\pi^{2}}{6} +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2(-1)^{n+1}}{n^{2}}\cos(nx) +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[(-1)^{n}\frac{\pi}{n} +\frac{2}{\pi n^{3}}\bigl(1-(-1)^{n}\bigr)\Bigr]\sin(nx). }

Exercícios relacionados