Determine a série de Fourier de f no intervalo indicado:
f(x)=\left\{\begin{array}{rr}0, & -\pi<x<0 \\\ \operatorname{sen} x, & 0 \leq x<\pi\end{array} \quad\right.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de período 2\pi\) da função \[f(x)= \begin{cases} 0, & -\pi < x < 0,\\\ \sin x, & 0 \le x < \pi, \end{cases}
no intervalo (-\pi<x<\pi]. Vamos usar a fórmula geral
f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\bigr],
onde
a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx, \quad b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx,
e
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx.

Passo 2

Cálculo de a_{0}. Como f(x)=0 em -\pi<x<0 e f(x)=\sin x em 0\le x<\pi,
a_{0} =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx =\frac{1}{\pi}\bigl[-\cos x\bigr]_{0}^{\pi} =\frac{1}{\pi}( -\cos\pi + \cos0 ) =\frac{2}{\pi}.

Passo 3

Cálculo de a_{n} para n\ge1.
a_{n} =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin x\cos(nx)\,dx.
Use a identidade
\sin x\cos(nx) =\tfrac12\bigl[\sin((n+1)x)+\sin((1-n)x)\bigr]
e as integrais de seno em [0,\pi]. O resultado simplifica para
a_{n} =-\frac{1+(-1)^{n}}{\pi\,(n^{2}-1)}.
Isto dá a_{n}=0 quando n é ímpar (pois então 1+(-1)^{n}=0) e, para n=2m,
a_{2m} =-\frac{2}{\pi\bigl((2m)^{2}-1\bigr)} =-\frac{2}{\pi(4m^{2}-1)}.

Passo 4

Cálculo de b_{n} para n\ge1.
b_{n} =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin x\sin(nx)\,dx.
Aplicando
\sin x\sin(nx) =\tfrac12\bigl[\cos((n-1)x)-\cos((n+1)x)\bigr]
vemos que todas as integrais são zero, exceto quando n=1. Para n=1:
b_{1} =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\,dx =\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\pi}{2} =\tfrac12.
Logo b_{n}=0 para n\neq1 e b_{1}=\tfrac12.

Passo 5

Montagem da série de Fourier.
f(x) =\frac{a_{0}}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos(nx) +\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\sin(nx).
Substituindo os coeficientes:
\frac{a_{0}}{2} =\frac{1}{\pi},\quad b_{1}=\tfrac12,\quad a_{2m}=-\frac{2}{\pi(4m^{2}-1)},\quad a_{2m-1}=0,\quad b_{n}=0\\ (n\neq1).
Isso dá
f(x) =\frac{1}{\pi} +\frac{1}{2}\sin x -\sum_{m=1}^{\infty}\frac{2}{\pi(4m^{2}-1)}\cos(2m x).

Resposta

\boxed{ f(x) =\frac{1}{\pi} +\frac{1}{2}\sin x -\frac{2}{\pi}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{\cos(2m x)}{4m^{2}-1} }

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