Determine a série de Fourier de
f(x)=rcc1, & se & 0 <= x <= pi -1, & se & -pi <= x<0

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver em série de Fourier 2π-periódica a função
f(x)= 1,&0<= x<= pi, -1,&-pi<= x<0
O conteúdo envolvido são os coeficientes de Fourier em um intervalo simétrico [-π,π]. Precisamos calcular
a0, an e bn pelas fórmulas padrões.

Passo 2

Observamos que f é uma função ímpar, pois
f(-x)=-f(x)forall x
Para funções ímpares temos
a0=0, an=0
e restam apenas os coeficientes
bn=1piintegral-π^πf(x)sin(nx),dx

Passo 3

Como f(x)sin(nx) é par (produto de ímpar por ímpar),
bn =2piintegral0^pi1cdotsin(nx),dx =2pil[-cos(nx)nr]0^pi =2pi nl(1-cos(npi)r)

Passo 4

Sabendo que cos(npi)=(-1)^n,
bn =2pi nl(1-(-1)^nr)
Para n par isso vale zero, e para n=2k-1 ímpar temos
b2k-1 =2pi(2k-1)cdot2 =4pi(2k-1)

Passo 5

Portanto a série de Fourier de f(x) fica apenas com senos de frequência ímpar:
f(x) =sumk=1^inftyb2k-1,sinl((2k-1)xr) =sumk=1^infty4pi(2k-1)sinl((2k-1)xr)

Resposta

f(x) =sumk=1^infty4pi(2k-1)sinl((2k-1)xr)

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