Seja
uma função de base radial, isto é
para alguma função
.
(a) Mostre que, se
é diferenciável na origem, então
é diferenciável no ponto
e vale que
.
(b) Mostre que a função
não é diferenciável no ponto
.
(a) Mostre que, se
(b) Mostre que a função
Passo 1
O enunciado trata de uma função radial
e pede:
(a) provar que, se é diferenciável em
, então
é diferenciável em
com
;
(b) aplicar isso a para concluir que ela não é diferenciável em
.
Conteúdo: definição de diferenciabilidade em , derivadas direcionais e identificação de condicionante sobre
.
(a) provar que, se
(b) aplicar isso a
Conteúdo: definição de diferenciabilidade em
Passo 2
Suponha que
seja diferenciável em
. Então existem as parciais
,
e vale a aproximação linear
Como
e sempre
, podemos escrever
Colocando
e
, isso vira
Como o lado esquerdo não depende de
, o coeficiente de
deve ser constante em todo
. A única forma de
para todo
é ter
Passo 3
Com
, a fórmula do passo anterior reduz-se a
o que, por definição, significa que
é diferenciável em
e
Passo 4
No caso
, temos
. Mas
Isso viola a condição
obtida no item (a). Portanto
não pode ser diferenciável em
.
Resposta
(a)
é diferenciável em
e
.
(b) A função não é diferenciável em
.
(b) A função