Seja f(x, y) uma função de base radial, isto é f(x, y)=g(raizx^2+y^2) para alguma função g: R R.
(a) Mostre que, se f é diferenciável na origem, então g é diferenciável no ponto u=0 e vale que g^prime(u)=0.
(b) Mostre que a função f(x, y)=sin (raizx^2+y^2) não é diferenciável no ponto (x0, y0)=(0,0).

Passo 1

O enunciado trata de uma função radial
f(x,y)=gl(raizx^2+y^2r)
e pede:
(a) provar que, se f é diferenciável em (0,0), então g é diferenciável em u=0 com g'(0)=0;
(b) aplicar isso a f(x,y)=sin(raizx^2+y^2) para concluir que ela não é diferenciável em (0,0).
Conteúdo: definição de diferenciabilidade em R^2, derivadas direcionais e identificação de condicionante sobre g.

Passo 2

Suponha que f seja diferenciável em (0,0). Então existem as parciais fx(0,0), fy(0,0) e vale a aproximação linear
f(h,k)=f(0,0)+fx(0,0),h+fy(0,0),k+ol(raizh^2+k^2r)
Como f(0,0)=g(0) e sempre raizh^2+k^2=r, podemos escrever
g(r)-g(0)=fx(0,0),h+fy(0,0),k+o(r)
Colocando h=rcostheta e k=rsintheta, isso vira
g(r)-g(0) = rl(fx(0,0)costheta+fy(0,0)sinthetar)+o(r)
Como o lado esquerdo não depende de theta, o coeficiente de r deve ser constante em todo theta. A única forma de
fx(0,0)costheta+fy(0,0)sintheta=constante
para todo theta é ter
fx(0,0)=0 e fy(0,0)=0

Passo 3

Com fx(0,0)=fy(0,0)=0, a fórmula do passo anterior reduz-se a
g(r)-g(0)=o(r),
o que, por definição, significa que g é diferenciável em 0 e
g'(0) =limrto0g(r)-g(0)r =0

Passo 4

No caso f(x,y)=sinl(raizx^2+y^2r), temos g(u)=sin(u). Mas
g'(0)=cos(0)=1neq0
Isso viola a condição g'(0)=0 obtida no item (a). Portanto f(x,y)=sin(raizx^2+y^2) não pode ser diferenciável em (0,0).

Resposta

(a) g é diferenciável em 0 e g'(0)=0.
(b) A função sin(raizx^2+y^2) não é diferenciável em (0,0).

Exercícios relacionados