Determine a série de Fourier de
f(x)=\sin ^{2}(x) \cos (x)
no intervalo ( -\pi, \pi ), utilizando identidades trigonométricas apropriadas.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a série de Fourier de f(x)=\sin^{2}(x)\cos(x) no intervalo (-\pi,\pi), usando identidades trigonométricas. Informações dadas e objetivos claros:
  • Função a expandir: \sin^{2}(x)\cos(x).
  • Intervalo: (-\pi,\pi) (portanto a série de Fourier será com período 2\pi).
  • Pedir a série de Fourier completa; como a função é expressável por identidades, espera-se uma combinação de senos e cossenos (possivelmente apenas cossenos se a função for par).
  • Não há outras restrições; usar identidades trigonométricas apropriadas é permitido e recomendado.

Passo 2

Primeira identidade útil: a identidade do ângulo duplo que relaciona \sin^{2}x e \cos 2x. A partir de \cos(2x)=1-2\sin^{2}x segue
\sin^{2}x=\tfrac{1}{2}\bigl(1-\cos(2x)\bigr).
Explanação curta: a fórmula \cos(2x)=1-2\sin^{2}x vem da identidade de soma \cos(2x)=\cos^{2}x-\sin^{2}x e da relação \cos^{2}x=1-\sin^{2}x.
Segunda identidade útil: produto-para-soma para cossenos. A fórmula é
\cos A\cos B=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(A+B)+\cos(A-B)\bigr).
Derivação rápida: soma das fórmulas de cosseno para \cos(A+B) e \cos(A-B) 2\cos A\cos B.

Passo 3

Substituir \sin^{2}x na função usando a identidade do Passo 2:
\sin^{2}x\cos x=\left(\tfrac{1}{2}\bigl(1-\cos(2x)\bigr)\right)\cos x =\tfrac{1}{2}\cos x-\tfrac{1}{2}\cos(2x)\cos x.
Agora aplicar a identidade produto-para-soma ao termo \cos(2x)\cos x:
\cos(2x)\cos x=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(3x)+\cos(x)\bigr).
Substituindo isso em \sin^{2}x\cos x obtemos
\sin^{2}x\cos x =\tfrac{1}{2}\cos x-\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(3x)+\cos(x)\bigr).

Passo 4

Continuar a simplificação passo a passo (mostrar cada operação aritmética):
\sin^{2}x\cos x =\tfrac{1}{2}\cos x-\tfrac{1}{4}\cos(3x)-\tfrac{1}{4}\cos x.
Agrupando os termos em \cos x:
\sin^{2}x\cos x=\left(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}\right)\cos x-\tfrac{1}{4}\cos(3x) =\tfrac{1}{4}\cos x-\tfrac{1}{4}\cos(3x).

Passo 5

Interpretação como série de Fourier: a expressão obtida já é um polinômio trigonométrico de período 2\pi, isto é, uma série de Fourier finita. Na forma padrão da série de Fourier em (-\pi,\pi),
f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\bigr),
temos aqui a_{0}=0, a_{1}=\tfrac{1}{4}, a_{3}=-\tfrac{1}{4} e todos os outros a_{n}=0 (para n\neq1,3), além de b_{n}=0 para todo n. Observação adicional: isso está coerente com a paridade de f f é função par (produto de funções pares), então só aparecem termos de cosseno.

Resposta

\sin^{2}(x)\cos(x)=\tfrac{1}{4}\cos(x)-\tfrac{1}{4}\cos(3x).

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