Determine a série de Fourier de
no intervalo (
), utilizando identidades trigonométricas apropriadas.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a série de Fourier de
no intervalo
, usando identidades trigonométricas. Informações dadas e objetivos claros:
- Função a expandir:
. - Intervalo:
(portanto a série de Fourier será com período ). - Pedir a série de Fourier completa; como a função é expressável por identidades, espera-se uma combinação de senos e cossenos (possivelmente apenas cossenos se a função for par).
- Não há outras restrições; usar identidades trigonométricas apropriadas é permitido e recomendado.
Passo 2
Primeira identidade útil: a identidade do ângulo duplo que relaciona
e
. A partir de
segue
Explanação curta: a fórmula
vem da identidade de soma
e da relação
.
Segunda identidade útil: produto-para-soma para cossenos. A fórmula é
Derivação rápida: soma das fórmulas de cosseno para
e
dá
.
Passo 3
Substituir
na função usando a identidade do Passo 2:
Agora aplicar a identidade produto-para-soma ao termo
:
Substituindo isso em
obtemos
Passo 4
Continuar a simplificação passo a passo (mostrar cada operação aritmética):
Agrupando os termos em
:
Passo 5
Interpretação como série de Fourier: a expressão obtida já é um polinômio trigonométrico de período
, isto é, uma série de Fourier finita. Na forma padrão da série de Fourier em
,
temos aqui
,
,
e todos os outros
(para
), além de
para todo
. Observação adicional: isso está coerente com a paridade de
—
é função par (produto de funções pares), então só aparecem termos de cosseno.