Resolva os seguintes Problemas de Valor Inicial das EDOS de coeficientes constantes:
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de valor inicial dado por:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é uma equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
- As condições iniciais são
e . - A incógnita é a função
(assume-se a variável independente ; os zeros das condições iniciais estão em ).
Passo 2
Método escolhido e por quê (explicação didática).
Para equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes é padrão tentar uma solução exponencial da forma
Para equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes é padrão tentar uma solução exponencial da forma
pois a exponencial mantém a forma após diferenciação (isso simplifica a equação). Substituindo essa forma na equação diferencial transforma-se a EDO numa equação algébrica para
, chamada equação característica. Aqui vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Formação e resolução da equação característica.
Substituindo em
temos, pelo fato de
e
:
Substituindo
Como
para todo
, podemos dividir por
e obter a equação característica
Agora resolvemos a quadrática. Podemos fatorar:
logo as raízes são
e
. São duas raízes reais distintas, portanto a solução geral da EDO é a combinação linear das exponenciais associadas às raízes:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Cálculo da derivada necessária para usar a condição inicial em
.
Para aplicar precisamos da expressão de
. Usando a regra da cadeia (a derivada de
é
) obtemos:
Para aplicar
Passo 5
Aplicação das condições iniciais e solução do sistema para
Usando
:
Temos o sistema linear
Resolvendo: da segunda equação vem
. Substituindo na primeira:
Então
Verificação rápida das condições iniciais:
e
, conforme exigido.]