Resolva os seguintes Problemas de Valor Inicial das EDOS de coeficientes constantes:
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-6 y=0, \quad y(0)=10, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial dado por:
y''+y'-6y=0,\qquad y(0)=10,\qquad y'(0)=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é uma equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • As condições iniciais são y(0)=10 e y'(0)=0.
  • A incógnita é a função y(t) (assume-se a variável independente t; os zeros das condições iniciais estão em t=0).

Passo 2

Método escolhido e por quê (explicação didática).
Para equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes é padrão tentar uma solução exponencial da forma
y(t)=e^{r t},
pois a exponencial mantém a forma após diferenciação (isso simplifica a equação). Substituindo essa forma na equação diferencial transforma-se a EDO numa equação algébrica para r, chamada equação característica. Aqui vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Formação e resolução da equação característica.
Substituindo y(t)=e^{r t} em y''+y'-6y=0 temos, pelo fato de \dfrac{d}{dt}e^{rt}=r e^{rt} e \dfrac{d^2}{dt^2}e^{rt}=r^2 e^{rt}:
r^2 e^{r t} + r e^{r t} - 6 e^{r t}=0.
Como e^{r t}\neq0 para todo t, podemos dividir por e^{r t} e obter a equação característica
r^2+r-6=0.
Agora resolvemos a quadrática. Podemos fatorar:
r^2+r-6=(r+3)(r-2)=0,
logo as raízes são r_1=-3 e r_2=2. São duas raízes reais distintas, portanto a solução geral da EDO é a combinação linear das exponenciais associadas às raízes:
y(t)=C_1 e^{r_1 t}+C_2 e^{r_2 t}=C_1 e^{-3t}+C_2 e^{2t},
onde C_1 e C_2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Cálculo da derivada necessária para usar a condição inicial em y'.
Para aplicar y'(0)=0 precisamos da expressão de y'(t). Usando a regra da cadeia (a derivada de e^{a t} é a e^{a t}) obtemos:
y'(t) = \frac{d}{dt}\big(C_1 e^{-3t}+C_2 e^{2t}\big) = -3 C_1 e^{-3t} + 2 C_2 e^{2t}.

Passo 5

Aplicação das condições iniciais e solução do sistema para C_1\) e \(C_2\). Usando \(y(0)=10\): \[y(0)=C_1 e^{0}+C_2 e^{0}=C_1+C_2=10.
Usando y'(0)=0:
y'(0) = -3C_1 + 2C_2 = 0.
Temos o sistema linear
\begin{cases} C_1 + C_2 = 10,\\[4pt] -3C_1 + 2C_2 = 0. \end{cases}
Resolvendo: da segunda equação vem 2C_2=3C_1\], isto é \(C_2=\dfrac{3}{2}C_1. Substituindo na primeira:
C_1 + \frac{3}{2}C_1 = \frac{5}{2}C_1 = 10 \quad\Rightarrow\quad C_1 = 10\cdot\frac{2}{5}=4.
Então
C_2=\frac{3}{2}C_1=\frac{3}{2}\cdot 4 = 6.
Verificação rápida das condições iniciais: C_1+C_2=4+6=10 e -3C_1+2C_2=-12+12=0, conforme exigido.]

Resposta

y(t)=4e^{-3t}+6e^{2t}

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