A função do tipo sawtooth (onda serrilhada) é definida por
f(x)=x \quad(\bmod 2 \pi),
ajustada para variar linearmente entre -\pi e \pi. Determine sua série de Fourier completa.

Passo 1

O enunciado dá a função do tipo sawtooth definida por
f(x)=x\pmod{2\pi},
ajustada para variar linearmente entre -\pi e \pi. Ou seja, na janela principal temos
f(x)=x\qquad\text{para }x\in(-\pi,\pi),
e f é 2\pi-periódica. A tarefa é determinar a série de Fourier completa dessa função (a representação em somatório com termos senos e cossenos, ou análoga complexa).
Informações relevantes fornecidas:
  • f é periódica com período 2\pi.
  • Na janela (-\pi,\pi) tem a forma f(x)=x.
  • A função apresenta descontinuidade de valor periódico nos pontos congruentes a \pm\pi (saltos nas bordas do intervalo fundamental).
  • O que se pede: a série de Fourier completa (coeficientes e expressão da soma).

Passo 2

Rápida revisão do que é necessário calcular (fórmulas e ideias):
  • Para uma função 2\pi-periódica a série de Fourier real é
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr),
onde os coeficientes são dados por
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx, \qquad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx, \qquad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx.
  • Por que essas fórmulas? Porque as funções \{1,\cos(nx),\sin(nx)\} são ortogonais em [-\pi,\pi] e projetam f sobre essa base trigonométrica. Vou usar essas fórmulas para calcular a_0,a_n,b_n.
  • Observação útil: se f for par ou ímpar, muitos coeficientes se anulam. Aqui, f(x)=x em (-\pi,\pi) é uma função ímpar (isto é, f(-x)=-f(x)). Isso simplifica cálculos: produto de função ímpar com cosseno (par) é ímpar → integral zero; produto com seno (ímpar) é par → pode dar diferente de zero.

Passo 3

Cálculo de a_0:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\,dx.
Como x é função ímpar, a integral sobre [-\pi,\pi] é zero. Logo
a_0=0.

Passo 4

Cálculo de a_n (coeficientes dos cossenos):
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\cos(nx)\,dx.
Aqui x é ímpar e \cos(nx) é par, então o produto x\cos(nx) é ímpar. A integral de uma função ímpar em [-\pi,\pi] é zero. Portanto, para todo n\ge1,
a_n=0.

Passo 5

Cálculo de b_n (coeficientes dos senos). Começamos pela fórmula:
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\,dx.
Agora x é ímpar e \sin(nx) também é ímpar, então o produto é função par. Podemos então escrever
b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx.
Calculamos a integral por partes. Tome
u=x,\qquad dv=\sin(nx)\,dx,
então
du=dx,\qquad v=-\frac{1}{n}\cos(nx).
Aplicando integração por partes:
\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx = \left.-\frac{x}{n}\cos(nx)\right|_{0}^{\pi} + \frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx.
Agora avaliaremos cada termo:
  • O termo de fronteira:
\left.-\frac{x}{n}\cos(nx)\right|_{0}^{\pi} = -\frac{\pi}{n}\cos(n\pi) - 0 = -\frac{\pi}{n}(-1)^n.
  • A integral do cosseno:
\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx = \left.\frac{1}{n}\sin(nx)\right|_{0}^{\pi} = \frac{1}{n}\bigl(\sin(n\pi)-\sin(0)\bigr) = 0.
Portanto
\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx = -\frac{\pi}{n}(-1)^n = \frac{\pi}{n}(-1)^{n+1}.
Substituindo em b_n:
b_n=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi}{n}(-1)^{n+1} = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}.

Passo 6

Montagem da série de Fourier usando os coeficientes encontrados:
  • a_0=0.
  • Para todo n\ge1, a_n=0.
  • Para todo n\ge1, b_n=\dfrac{2(-1)^{n+1}}{n}.
Logo a série de Fourier (forma real) fica apenas com termos senos:
f(x)\sim \sum_{n=1}^\infty b_n\sin(nx) = \sum_{n=1}^\infty \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx).
Escrevendo de maneira habitual:
f(x)=2\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{\sin(nx)}{n},
onde a igualdade vale para todo x onde f é contínua; nos pontos de descontinuidade (ex.: x=\pi modulo 2\pi) a série converge para a média dos limites laterais, que aqui é 0.
Se for de interesse, a forma complexa pode ser apresentada: os coeficientes complexos c_n da série
f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx}
são, para n\ne 0,
c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x e^{-inx}\,dx=\frac{(-1)^{n+1}}{in},
e c_0=0. (Isto é compatível com a série em senos acima.)

Resposta

f(x)=2\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{\sin(nx)}{n}.

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