A função do tipo sawtooth (onda serrilhada) é definida por
f(x)=x \quad(\bmod 2 \pi),
ajustada para variar linearmente entre -\pi e \pi. Determine sua série de Fourier completa.
Passo 1
O enunciado dá a função do tipo sawtooth definida por
f(x)=x\pmod{2\pi},
ajustada para variar linearmente entre -\pi e \pi. Ou seja, na janela principal temos
f(x)=x\qquad\text{para }x\in(-\pi,\pi),
e f é 2\pi-periódica. A tarefa é determinar a série de Fourier completa dessa função (a representação em somatório com termos senos e cossenos, ou análoga complexa).
Informações relevantes fornecidas:
f é periódica com período 2\pi.
Na janela (-\pi,\pi) tem a forma f(x)=x.
A função apresenta descontinuidade de valor periódico nos pontos congruentes a \pm\pi (saltos nas bordas do intervalo fundamental).
O que se pede: a série de Fourier completa (coeficientes e expressão da soma).
Passo 2
Rápida revisão do que é necessário calcular (fórmulas e ideias):
Para uma função 2\pi-periódica a série de Fourier real é
Por que essas fórmulas? Porque as funções \{1,\cos(nx),\sin(nx)\} são ortogonais em [-\pi,\pi] e projetam f sobre essa base trigonométrica. Vou usar essas fórmulas para calcular a_0,a_n,b_n.
Observação útil: se f for par ou ímpar, muitos coeficientes se anulam. Aqui, f(x)=x em (-\pi,\pi) é uma função ímpar (isto é, f(-x)=-f(x)). Isso simplifica cálculos: produto de função ímpar com cosseno (par) é ímpar → integral zero; produto com seno (ímpar) é par → pode dar diferente de zero.
Passo 3
Cálculo de a_0:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\,dx.
Como x é função ímpar, a integral sobre [-\pi,\pi] é zero. Logo
a_0=0.
Passo 4
Cálculo de a_n (coeficientes dos cossenos):
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\cos(nx)\,dx.
Aqui x é ímpar e \cos(nx) é par, então o produto x\cos(nx) é ímpar. A integral de uma função ímpar em [-\pi,\pi] é zero. Portanto, para todo n\ge1,
a_n=0.
Passo 5
Cálculo de b_n (coeficientes dos senos). Começamos pela fórmula:
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\,dx.
Agora x é ímpar e \sin(nx) também é ímpar, então o produto é função par. Podemos então escrever
onde a igualdade vale para todo x onde f é contínua; nos pontos de descontinuidade (ex.: x=\pi modulo 2\pi) a série converge para a média dos limites laterais, que aqui é 0.
Se for de interesse, a forma complexa pode ser apresentada: os coeficientes complexos c_n da série
f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx}
são, para n\ne 0,
c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x e^{-inx}\,dx=\frac{(-1)^{n+1}}{in},
e c_0=0. (Isto é compatível com a série em senos acima.)