7: Considere a função
f(x)=\operatorname{cosh} a x, \quad-\pi<x<\pi
a) Determine os coeficientes de Fourier
b) Escreva a série de Fourier de f.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de f(x)=\operatorname{cosh}(a x) no intervalo -\pi<x<\pi. O conteúdo aqui é séries de Fourier em funções pares, então não haverá termos em seno, só a_0 e a_n.

Passo 2

Como \operatorname{cosh}(ax) é função par, todos os coeficientes b_n (dos senos) são nulos. Resta calcular
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\operatorname{cosh}(ax)\,dx
e, para n\ge1,
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\operatorname{cosh}(ax)\cos(nx)\,dx.

Passo 3

Cálculo de a_0. Pela paridade,
a_0=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\operatorname{cosh}(ax)\,dx =\frac{2}{\pi}\left[\frac{1}{a}\operatorname{sinh}(ax)\right]_{0}^{\pi} =\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\operatorname{sinh}(a\pi)}{a} =\frac{2\operatorname{sinh}(a\pi)}{a\pi}.

Passo 4

Cálculo de a_n para n\ge1. Usa-se paridade de novo:
a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\operatorname{cosh}(ax)\cos(nx)\,dx.
Escrevendo \operatorname{cosh}(ax)=\tfrac12(e^{ax}+e^{-ax}) e integrando cada exponencial por partes ou usando a fórmula padrão, obtém-se
\int_{0}^{\pi}\operatorname{cosh}(ax)\cos(nx)\,dx =\frac{a(-1)^n\operatorname{sinh}(a\pi)}{a^2+n^2}.
Logo
a_n=\frac{2}{\pi}\,\frac{a(-1)^n\operatorname{sinh}(a\pi)}{a^2+n^2} =\frac{2a\,(-1)^n\operatorname{sinh}(a\pi)}{\pi\,(a^2+n^2)}.

Passo 5

A série de Fourier fica então
f(x)=\operatorname{cosh}(ax) =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx)
com
\frac{a_0}{2} =\frac{\operatorname{sinh}(a\pi)}{a\pi}, \quad a_n =\frac{2a\,(-1)^n\operatorname{sinh}(a\pi)}{\pi\,(a^2+n^2)}.

Resposta

a)
a_0=\frac{2\operatorname{sinh}(a\pi)}{a\pi}, \quad a_n=\frac{2a\,(-1)^n\operatorname{sinh}(a\pi)}{\pi\,(a^2+n^2)}, \quad b_n=0.
b)
\operatorname{cosh}(ax) =\frac{\operatorname{sinh}(a\pi)}{a\pi} +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2a\,(-1)^n\operatorname{sinh}(a\pi)}{\pi\,(a^2+n^2)}\cos(nx).

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