(a) Determine a série de Fourier para a função
f(x)= 0, & se -2
Faça o gráfico da série obtida.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a expansão em série de Fourier de período 4 da função f(x) definida por partes em (–2,2): ela vale 0 em (–2,–1), –2 em (–1,1) e 0 em (1,2). O assunto é Série de Fourier em intervalo simétrico, e vamos usar as fórmulas para L=2.

Passo 2

Primeiro lembramos que, para uma função periódica de período 2L, a série de Fourier em (–L,L) é
f(x)=a02+sumn=1^infty ancosl(tfracnpiLxr)+bnsinl(tfracnpiLxr)
com
an=1Lintegral-L^L f(x)cosl(tfracnpiLxr),dx, bn=1Lintegral-L^L f(x)sinl(tfracnpiLxr),dx

Passo 3

Observamos que f(x) é uma função par (f(–x)=f(x)), portanto todos os b_n serão zero e sobra apenas a parte com cossenos. Além disso, podemos usar a simetria e escrever
an=22integral0^2 f(x)cosl(tfracnpi2xr),dx=integral0^2 f(x)cosl(tfracnpi2xr),dx

Passo 4

Calculamos primeiro o coeficiente a_0 (média da função):
a0=12integral-2^2 f(x),dx=12integral-1^1(-2),dx=12(-4)=-2,
logo o termo constante é a_0/2=–1.

Passo 5

Para n≥1, usamos que f(x)=–2 em (0,1) e 0 em (1,2):
an=-2integral0^1cosl(tfracnpi2xr),dx=-2[2npisinl(tfracnpi2xr)]0^1=-4npisinl(tfracnpi2r)
Como sin(npi/2)=0 para n par, só restam os n ímpares.

Passo 6

Para n=2k+1 (k=0,1,2…), temos
sinl(tfrac(2k+1)pi2r)=(-1)^k,
então
a2k+1=-4(2k+1)pi(-1)^k=;(-1)^k+1,4(2k+1)pi

Passo 7

Juntando tudo, a série de Fourier fica
f(x)=-1+sumk=0^infty(-1)^k+14(2k+1)picosl(tfrac(2k+1)pi2xr)

Passo 8

O gráfico da série (usando soma parcial com vários termos) apresenta a forma de onda quadrada de período 4: vale –2 em |x|<1, zero em 1<|x|<2 e se repete, exibindo pequeno overshoot de Gibbs nas descontinuidades em x=±1.

Resposta

A série de Fourier de período 4 para f(x) é
f(x)=-1+sumk=0^infty(-1)^k+14(2k+1)picosl((2k+1)pi2xr)
O gráfico dessa série aproxima a função definida (–2 entre –1 e 1, zero entre 1 e 2) e mostra o fenômeno de Gibbs nas quedas em x=±1.

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